群论学习笔记

群论学习笔记

好厉害的东西。

定义

一个群 \(\left\langle G, \circ \right\rangle\) 由一个集合 \(G\) 以及一个二元运算 \(\circ: G \times G \to G\) 构成。

群的 4 个性质：

封闭性：对于 \(a, b \in G, c = a \circ b\)，有 \(c \in G\)。

结合律：\(a, b, c \in G, a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c\)。

单位元：存在单位元 \(e \in G\)，使得对于 \(\forall a \in G\)，\(e \circ a = a = a \circ e\)。

逆元：对于 \(a \in G\)，存在 \(a ^ {-1} \in G\)，满足 \(a \circ a ^ {-1} = e\)。

一个群不需要满足交换律，即不需要 \(a, b \in G, a \circ b = b \circ a\)。满足交换律的群叫做阿贝尔群。

如 \(\left\langle Z, + \right\rangle\)，即集合为整数集，二元运算为 \(+\) 的群：

• \(a, b \in Z, (a + b) \in Z\)，所以满足封闭性。

• \(a, b, c \in Z, a + (b + c) = a + (b + c)\)，所以满足结合律。

• \(0\) 为这个群的单位元，因为对于任意 \(a \in Z\)，\(a + 0 = a = 0 + a\)。

• \(-a\) 为 \(a\) 的逆元，因为 \(-a + a = 0 = e\)。

但是 \(\left\langle Z, \times \right\rangle\) 不构成群，因为显然 \(e = 1\)，而除了 \(-1, 1\) 以外的元素找不到逆元。除了零以外的所有实数构成的集合 \(\mathbb{R'}\) 和运算 \(\times\) 构成群。

不局限于数字，只要能满足上述四点的都是群。如正方形的旋转（\(G = \{ 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ \}\)，运算是旋转的复合）也是群。

如果一个二元运算系统满足结合律和封闭性，那么叫做半群。如果还能存在单位元，叫做幺半群。

如果 \(G\) 中的元素是有限个，这个群叫做有限群，否则叫无限群。正整数加法可以看作无限群，而正整数的模意义下的加法能看作有限群。

有限群的阶是指集合中元素个数，记作 \(|\mathbb{G}|\)。

群内的元素也有阶。对于 \(a \in G\)，\(a\) 的阶是 \(a ^ x = e\) 的最小的正整数 \(x\)，记作 \(|a|\)。如果 \(x\) 不存在，那么 \(|a| = +\infty\)。其中 \(a ^ x = \begin{cases} a \circ a ^ {x - 1} & x > 0 \\ a ^ {-1} \circ a ^ {x + 1} & x < 0 \end{cases}\)。

一些结论

• 一个群的单位元唯一。

考虑反证。如果群 \(\left\langle G, \circ \right\rangle\) 存在两个单位元 \(e_1, e_2\)，那么：

因为 \(e_1\) 是单位元，所以 \(e_1 \circ e_2 = e_2\)。

因为 \(e_2\) 是单位元，所以 \(e_1 \circ e_2 = e_1\)。

所以有 \(e_1 = e_2\)，与假设矛盾。故群内只有一个单位元。

• 每个元素的逆元唯一。

考虑反证。如果 \(a \in G\) 存在两个逆元 \(a_1 ^ {-1}, a_2 ^ {-1}\)，那么：

\(a_1 ^ {-1} = a_1 ^ {-1} \circ a \circ a_2 ^ {-1} = a_2 ^ {-1}\)，与假设矛盾。故每个元素的逆元唯一。

• \((a ^ {-1}) ^ {-1} = a\)。

\((a ^ {-1}) ^ {-1} \circ a ^ {-1} = e = a \circ a ^ {-1}\)。

• \(a \circ c = b \circ c \Rightarrow a = b\)。

两边同时 \(\circ c ^ {-1}\) 即可。

被称作消去律。

子群

称 \(\mathbb{G'} = \left\langle G', \circ \right\rangle\) 是 \(\mathbb{G} = \left\langle G, \circ \right\rangle\) 的子群，当 \(G' \subseteq G\) 且 \(\left\langle G', \circ \right\rangle\) 满足群的性质，记作 \(\mathbb{G'} \leq \mathbb{G}\)。真子群还要满足 \(G' \neq G\)，记作 \(\mathbb{G'} < \mathbb{G}\)。

群的同构

对于两个群 \(\mathbb{G} = \left\langle G, \circ \right\rangle, \mathbb{H} = \left\langle H, * \right\rangle\)，如果存在双射 \(\sigma: G \to H\)，对于 \(\forall a, b \in G\) 都有

\[\sigma(a) * \sigma(b) = \sigma(a \circ b) \]

那么 \(\mathbb{G}, \mathbb{H}\) 同构。

对称群

排列

对于一个有限集合 \(T\)，\(T\) 的排列是一个 \(T \to T\) 的双射。可以看作一个函数 \(\tau: T \to T\)。

令 \(S_T\) 是 \(T\) 的所有排列的集合。那么 \(|S_T| = |T| !\)。当 \(\mathbb{T} = \{1, 2, \cdots, n\}\) 时，\(S_T\) 可以简记为 \(S_n\)。

显然 \(\mathbb{S_n} = \left\langle S_n, \circ \right\rangle\) 是一个群，\(\circ\) 是复合函数的二元运算：

• 对于 \(\sigma, \tau \in S_n, \sigma \circ \tau \in S_n\)。

• 对于 \(\sigma, \tau, \upsilon \in S_n, (\sigma \circ \tau) \circ \upsilon = \sigma \circ (\tau \circ \upsilon)\)。

• 存在单位元 \(\epsilon\)，满足 \(\epsilon(x) = x\)。

• 对于 \(\sigma \in S_n\)，存在逆元 \(\sigma ^ {-1}\)，满足 \(\sigma ^ {-1} (\sigma(i)) = i\)。

这样的 \(\left\langle S_n, \circ \right\rangle\) 就是对称群。

置换与轮换

排列和置换一一对应。可以写作 \(\dbinom{1, 2, 3, \cdots, n}{\sigma(1), \sigma(2), \sigma(3), \cdots, \sigma(n)}\)。

置换 \(\dbinom{1, 2, 3}{2, 3, 1}\) 也可以用 \((1, 2, 3)\) 来表示 \(1 \to 2 \to 3 \to 1\)。将形如 \((a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n)\) 的置换称为轮换。

一个置换由若干个轮换组成。比如 \((1, 4)(2, 3)\) 可以写成 \(\dbinom{1, 2, 3, 4}{4, 3, 2, 1}\)。

置换交换列不影响含义的，比如 \(\dbinom{1, 2, 3}{2, 3, 1}\) 和 \(\dbinom{2, 1, 3}{3, 2, 1}\) 是同一个置换。

恒等置换是 \((1)\)。

置换和轮换的运算是复合，符号是 \(\circ\)。

\[\dbinom{1, 2, \cdots, n}{\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(n)} \circ \dbinom{\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(m)}{\tau(1), \tau(2), \cdots, \tau(n)} = \dbinom{1, 2, \cdots, n}{\tau(1), \tau(2), \cdots, \tau(n)} \]

\[\dbinom{1, 2, 3, 4}{4, 2, 3, 1} \circ \dbinom{1, 2, 3, 4}{1, 4, 2, 3} = \dbinom{1, 2, 3, 4}{3, 4, 2, 1} \]

\[(1, 4) \circ (2, 4, 3) = (1, 3, 2, 4) \]

所以上面的 \(S_n\) 也可以看作置换的集合。有限对称群 \(\mathbb{S_n} = \left\langle S_n, \circ \right\rangle\) 的子群称为置换群。

Cayley 定理

Cayley 定理声称任何有限群 \(\left\langle G, * \right\rangle\) 都同构于一个置换群 \(\mathbb{H}\)。

对于每个 \(a \in G\)，设函数 \(\tau_a: G \to G\)，对于 \(x \in G\) 有 \(\tau_a(x) = ax\)。

因为 \(\tau_a\) 是 \(G \to G\) 的函数，所以 \(\tau_a \in S_G\)。

对于 \(a, b \in G\)，有 \((\tau_a \circ \tau_b)(x) = \tau_{a * b}(x)\)。

所以构造双射 \(\varphi(x): G \to H\)，其中 \(\varphi(x) = \tau_x\) 即可。

循环群

用 \(\mathbb{Z_n}\) 表示一个大小为 \(n\) 的循环群。无限循环群就是 \(\mathbb{Z}\)，有无限个元素。

常见的循环群有模意义下的整数加法、或者时钟上的时针（就是 \(\mathbb{Z_{12}}\)）、\(n\) 边形的旋转等等。

循环群 \(\mathbb{G} = \left\langle G, \circ \right\rangle\) 存在一个元素 \(a \in G\)，使得对于每个整数 \(x\)，\(a ^ x \in G\)。

容易发现 \(n\) 阶循环群同构于模 \(n\) 意义下的整数加法群。