平面最近点对问题

平面上\(n\)个点，求距离最近的两个点的距离。

通过分治求解。把所有点按\(x\)排序，每次从最中间的那个点分开（设其横坐标为\(M\)），递归求解左右两区域的最近点对，再求跨过中线的最近点对。

设递归左右区域后，当前答案为\(d\)，显然：
1.如果想让\(d\)变小，就要找到距离\(\leq d\)的点对，所以只用考虑横坐标与中线相差不超过\(d\)的点。
2.左右两区域内的点，两两距离\(\geq d\)。

枚举左区域中的点\((a,b)\)，需要考虑的右边的点只有横坐标不超过\(M+d\)，纵坐标在\([b-d,b+d]\)内的点。考虑在一个\(d*2d\)的矩形内塞尽量多的点，使得两两距离\(\geq d\)，这样的点最多有六个，所以整个算法的时间复杂度\(O(n\log n)\)。

CF429D

一个长度为\(n\)的序列\(a\)，定义\(f(l,r)=(r-l)^2+(\sum_{i=l+1}^r a_i)^2\)，求\(f(l,r)\)的最小值。

明显就是\(n\)个点\((i,s_i)\)求个最近点对。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define mid ((l+r)>>1)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mxn=100010;
struct nd{
	int x,y;
	bool operator<(const nd a)const{
		return y<a.y;
	}
}a[mxn],b[mxn];
int n;
LL ans;
LL dis(nd x,nd y){
	return 1ll*(x.x-y.x)*(x.x-y.x)+1ll*(x.y-y.y)*(x.y-y.y);
}
void solve(int l,int r){
	if (l==r) return;
	int M=a[mid].x;
	solve(l,mid),solve(mid+1,r);
	int d=sqrt(ans),cur=1,m=0;
	for (int i=mid+1;i<=r;++i)
		if (a[i].x<=M+d) b[++m]=a[i];
	for (int i=l;i<=mid;++i)
		if (a[i].x>=M-d){
			for (;cur<=m&&b[cur].y<a[i].y-d;++cur);
			for (int j=cur;j<=m&&b[j].y<=a[i].y+d;++j) ans=min(ans,dis(a[i],b[j]));
		}
	int pa=l,pb=mid+1,p=l;
	for (;pa<=mid&&pb<=r;)
		if (a[pa]<a[pb]) b[p++]=a[pa++];
		else b[p++]=a[pb++];
	for (;pa<=mid;b[p++]=a[pa++]);
	for (;pb<=r;b[p++]=a[pb++]);
	for (int i=l;i<=r;++i) a[i]=b[i];
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1,x,s=0;i<=n;++i)
		scanf("%d",&x),a[i]=(nd){i,s+=x};
	ans=1e18;
	solve(1,n);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}