【UOJ#450】 【集训队作业2018】复读机

题目大意

\(n\)个不同的球放入\(k\)个不同的盒子里，每个盒子里的球数都是\(d\)的倍数，求方案数\(\%19491001\)的值
subtask1(5pts): \(d=1\)
subtask2(25pts): \(n\leq 10^3,k\leq 100\)
subtask3(30pts): \(n\leq 10^9,k\leq 5*10^5,d=2\)
subtask4(40pts): \(n\leq 10^9,k\leq 10^3,d=3\)

题解

\(O(nk)\)暴力dp：

\[f_{i,j}*(x*d)! -> f_{i+1,j+x*d}\\ ans=\frac{f_{k,n}}{n!} \]

可以写成\(k\)个同样的多项式相乘（最后再除个\(n!\)），写出生成函数：

\[\begin{aligned} F&=\sum_{i=0}^\infty [d|i] \frac{1}{i!} x^i\\ &=\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{d}(\sum_{j=0}^{d-1} \omega_d^{ij}) \frac{x^i}{i!}\\ &=\frac{1}{d} \sum_{i=0}^{d-1} \sum_{j=0}^\infty (\omega_d^i)^j \frac{x^j}{j!}\\ &=\frac{1}{d} \sum_{i=0}^{d-1} e^{\omega_d^ix}\\ \end{aligned} \]

求这个东西的\(k\)次方可以二（?）项式定理展开一下。

\[\begin{aligned} F^k&=\frac{1}{d^k} \sum_{a_1+a_2+...a_d=k} \frac{k!\prod_{i=0}^{d-1} e^{a_i\omega_d^ix}}{\prod_{i=0}^{d-1} a_i!}\\ F^k&=\frac{1}{d^k} \sum_{\sum a_i=k} \frac{k! e^{x\sum_{i=0}^{d-1} a_i\omega_d^i}}{\prod a_i!}\\ d^kF^k&=\sum_{\sum a_i=k} \frac{k!\sum_{j=0}^\infty \frac{x^j}{j!} (\sum_{i=0}^{d-1} a_i\omega_d^i)^j}{\prod a_i!}\\ \frac{d^kF^k}{k!}&=\sum_{j=0}^\infty \frac{x^j}{j!} \sum_{\sum a_i=k} \frac{(\sum_{i=0}^{d-1} a_i\omega_d^i)^j}{\prod a_i!}\\ ans=\frac{F^k(n)}{n!}&=\frac{k!}{d^k} \sum_{\sum a_i=k} \frac{(\sum_{i=0}^{d-1} a_i\omega_d^{i})^n}{\prod a_i!} \end{aligned} \]

复杂度大约\(O(k^{d-1})\)
对于\(d=1\)

\[ans=k^n \]

对于\(d=2\)

\[ans=\frac{k!}{2^k} \sum_{i=0}^k \frac{(2i-k)^n}{i!(k-i)!} \]

对于\(d=3\)

\[ans=\frac{k!}{3^k} \sum_{i=0}^k \sum_{j=0}^{k-i} \frac{(\omega_3*i+\omega_3^2*j+k-i-j)^n}{i!j!(k-i-j)!} \]

\(19491000\)是\(6\)的倍数，所以单位根存在。