BZOJ1492:[NOI2007]货币兑换

1492: [NOI2007]货币兑换Cash

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Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下

简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，

两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的

价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法

。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将

 OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑

换给用户总价值为 IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接

下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：

假定在第一天时，用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作：

注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经

知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能

够获得多少元钱。

Input

输入第一行两个正整数N、S，分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行，第K行三个实数AK、B

K、RateK，意义如题目中所述。对于100%的测试数据，满足：0<AK≤10；0<BK≤10；0<RateK≤100；MaxProfit≤1

0^9。

【提示】

1.输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。

2.必然存在一种最优的买卖方案满足：

每次买进操作使用完所有的人民币；

每次卖出操作卖出所有的金券。

Output

只有一个实数MaxProfit，表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

HINT

思路{

　　我只能说，写了这道题才发现我的CDQ学得有多烂。

　　60分的DP还是非常明显的。

　　考虑若已知f[i]，怎么求可以获得的最多的A卷和B卷数目。

　　可以设最多可获得B卷数量为x，则最多获得A卷数量为x*rate[i]

　　有x*b[i]+x*rate[i]*a[i]=f[i]

　　解得:  x=f[i]/(a[i]*rate[i]+b[i])

　　设Xi表示第i天可以获得的A卷最大数量,Yi表示第i天可以获得的B卷的最大数量。

　　整理一下 ：     Yi=f[i]/(a[i]*rate[i]+b[i])     Xi=Yi*rate[i]

　　则有f[i]=max(f[i-1],Xj*a[i]+Yj*b[i]),这个是O(n^2)的转移。

　　考虑优化:一种决策j优于另外一种决策k，有xj*ai+yj*bi>xk*ai+yk*bi.

　　移项:有-ai/bi>(yk-yj)/(xk-xj)=>k(k,j)<-ai/bi.想到斜率优化

　　由于这个不单调，麻烦！

　　然后就CDQ分治了，把每天抽象成一点。

　　首先满足单调性，在分治外先按照每个点的-ai/bi sort一下,由于考虑CDQ分治后的有序性，应当从大到小排序。

　　如何处理分而治之呢？

　　肯定是在此之前的点，也就是时间先于他的点更新他，我们在CDQ分治内部归并排序,按时间分成两部分。

　　斜率优化保证单调性，在处理之前应当处理子问题，也就是右边的部分,CDQ(l,mid);

　　返回时要斜率优化，暗示所以在最后的时候要按照坐标(x,y)排序(这个具体看代码)

　　然后就是斜率优化了，维护一个上凸包边界。再斜率优化更新左区间解。

　　递归处理左区间，CDQ(mid+1,r)。

　　这时，由于已经使得两端区间x,y有序，所以只需二路归并即可。

　　CDQ分治博大精深！！！！！！！！！！！！妙不可言！！！！！！！！

}

 

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1<<30)
#define il inline
#define RG register
#define LL long long
#define db double
#define maxx 100010
using namespace std;
db dp[maxx];int n,S;
struct pp{db x,y,R,k,a,b,r;int id;};
db max(db x,db y){return x>y?x:y;}
pp f[maxx],que[maxx];
il bool comp(const pp &a ,const pp & b){return a.k!=b.k?a.k>b.k:a.id<b.id;}
#define eps 1e-11
db getk(int i,int j){
	pp u=f[i],v=f[j];
	if(!j)return -1e20;
	if(fabs(u.x-v.x)<eps)return 1e20;
	return (u.y-v.y)/(u.x-v.x);
}
int kk[maxx];
il void CDQ(int l,int r){
	if(l==r){
		dp[l]=max(dp[l-1],dp[l]);
		f[l].y=dp[l]/(f[l].b+f[l].r*f[l].a);
		f[l].x=f[l].y*f[l].r;return;
	}int mid=(l+r)>>1;int L=l,R=mid+1;
	for(int i=l;i<=r;++i)if(f[i].id<=mid)que[L++]=f[i];else que[R++]=f[i];
	for(int i=l;i<=r;++i)f[i]=que[i];
	CDQ(l,mid);int top=0;
	for(RG int i=l;i<=mid;++i){
		while(top>1&&getk(i,kk[top])+eps>getk(kk[top],kk[top-1]))top--;
		kk[++top]=i;
	}int j=1;for(RG int i=mid+1;i<=r;++i){
		while(j<top&&getk(kk[j],kk[j+1])+eps>f[i].k)j++;
		pp P=f[kk[j]];
		dp[f[i].id]=max(dp[f[i].id],P.x*f[i].a+P.y*f[i].b);
	}CDQ(mid+1,r);L=l,R=mid+1;
	for(int i=l;i<=r;++i){
		if(((f[L].x<f[R].x+eps||(fabs(f[L].x-f[R].x)<eps&&f[R].y+eps>f[L].y))&&L<=mid)||R>r)que[i]=f[L++];
		else que[i]=f[R++];
	}for(int i=l;i<=r;++i)f[i]=que[i];
	return;
}
il void work(){
	scanf("%d%lf",&n,&dp[0]);
	for(RG int i=1;i<=n;++i)scanf("%lf%lf%lf",&f[i].a,&f[i].b,&f[i].r),f[i].id=i,f[i].k=-f[i].a/f[i].b;
	sort(f+1,f+n+1,comp);CDQ(1,n);printf("%.3lf",dp[n]);return;
}
int main(){
    work();
    return 0;
}