高中数列梳理

upd.2025.10.6

高中数学中的数列

本文内容有:
\(1.数列意义\)
\(2.特殊数列(等差\&等比)\)
\(3.数列单调性\)
\(4.数列通项方法\)
\(5.数列求和方法\)
\(6.数列不等式\)
\(ex.差分算子方法\)

1.数列意义

数列(sequence of number)英文表示"数的序列"，即一组数有顺序的排在一起，这是最本质的意义

高中的数列\(\{a_n\}\)，是一个下标\(n \in N^{*}\)的一组数(1-index,在一些题目里会见到\(n \in N\),即首项为\(a_0\)的0-index)

从函数的视角来看，\(\{a_n\}\)是一个\(f(n),n\in N^*\)的值域,即离散函数的值域

因此研究数列的一种方法是从熟悉的连续函数入手，将定义域缩减至自然数集进行研究

对于数列表示，有三种方法

1. 通项法:直接给出\(a_n = f(n)\)的式子
2. 递推关系:告知\(x\)阶递推\(a_n=f(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-x}),n\geq x+1\),且给出其\(a_1,a_2,...,a_x\)的值
3. 图像法

2.特殊数列

等差数列(Arithmetic Progression)

以下简记\(AP\),英文译为 算数的数列, 英文名更贴近这个数列本质。

AP的递推及其通项

书本基本定义为\(a_{n+1}-a_{n}=d\),\(d\)为常数，记作公差

移项可得到其一阶递推关系:\(a_{n+1}=a_{n}+d\)

对于定义式\(a_{n+1}-a_n=d\) 进行如下操作：

\(\begin{cases} a_{n+1}-a_n=d \\ a_n-a_{n-1}=d \\ \vdots\\ a_3-a_2=d\\ a_2-a_1=d \end{cases}\)
将上述式子全部相加，得到
\(a_{n+1}-a_1=nd\),即\(a_n=a_1+(n-1)d\)
这样便得出了通项式,这种求和消去的方法叫做累加法

AP的性质

AP的性质与 \(“Arithmetic”\)息息相关。

我们知道，对于 x, y, z三个数，y是其等差中项，那么便有:
\(2y = x + z\)
整理可得:
\(y = \frac{x+z}{2}\)，即\(y\)是\(x,z\)的算数平均数

对于AP，这个性质更加强大:
\(\forall n,m,p,q \in N^*, n+m=p+q ,{a_n}成AP\)
那么就有
\(a_n+a_m=a_p+a_q=2a_{\frac{n+m}{2}}\)
原因就在于其算术平均数
因此等差数列的核心就在于其最中间的那一项。
在AP部分后我们令\(a_{mid}表示a_{\frac{n+1}{2}}\)

求和：

\(S_n = \sum_{i=1}^n a_i, {a_n}成AP,求S_n通项\)

高斯使用倒序相加法进行求解
\(S_n = a_1 + a_2 + a_3+...+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n\)
\(S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2}+...+a_3+a_2+a_1\)
上下两式相加,得到
\(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=na_{mid}\)
这就是等差数列求和公式，又称算术级数公式

对于等差数列的若干性质，用它的算数意义(\(a_{mid}\))都可以解决

等比数列(Geometric Progression)

以下简记\(GP\),英文译为 几何的数列, 英文名更贴近这个数列本质。

GP的递推及其通项

书本定义为\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)
这个式子很危险，它有隐含条件: \(a_n ≠0,q≠0\)
在判断GP的时候请一定注意这两个条件
整理可得通项式:\(a_{n+1}=qa_n\)

\(\begin{cases} \frac{a_{n+1}}{a_n}=q \\ \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q\\ \vdots\\ \frac{a_{3}}{a_2}=q\\ \frac{a_{2}}{a_1}=q \end{cases}\)
将上述式子全部相乘，得到
\(a_{n+1}=a_1q^n\),即\(a_n=a_1q^{n-1}\)
这样便得出了通项式,这种求和消去的方法叫做累乘法

累加法和累乘法的重要思想都是通过逆运算，将多数项转化为运算单位元

GP的性质

同样的，对于\(x,y,z\)成等比中项可以得到
\(y^2=xz\),可以得到当\(xz<0\)时\(y\)为虚数,当\(xz>0\)时y有两根

取其正根\(y=\sqrt{xz},即y为xz的几何平均数\)

同样的，可以得到
\(\forall n,m,p,q \in N^*, n+m=p+q ,{a_n}成AP\)
那么就有
\(a_na_m=a_pa_q=a^2_{\frac{n+m}{2}}\)

你可以看作次数上成等差

不难发现GP的公比\(q\)十分神秘
当\(q=1\)时，其为常数数列
当\(q<0\)时，为摆动数列
当\(0<|q|<1\)时，向x轴收敛

在\(GP\)中，请注意其符号关系。

对于\({a_n}成GP\)
定义\(S_n=\sum^n_{i=1}a_i\)，可以用错位相减法求通项
\(S_n=a_1+a_1q+...+a_1q^{n-2}+a_1q^{n-1}\)
\(qS_n= a_1q+...+a_1q^{n-2}+a_1q^{n-1} +a_1q^n\)
当\(q≠1\)时，将两式相减，得到
\(S_n=\frac{a_1-a_q}{1-q}\)
当\(q=1\)时，易得
\(S_n=na_1\)
以上两个式子为等比数列求和公式,又称几何级数公式

3.数列的单调性

关于单调性的讨论,我们有以下几种方法:

1. 对数列对应的连续函数求导，再对应到\(N^*\)上
2. 利用差分数列
3. 图像法

比较简单，不过多赘述

4.数列通项

方法1. 累加法

若给出的\(k\)阶递推关系可以写做\(a_n-a_{n-1}-...-a_{n-k}=f(n)\),且\(f(n)\)易求和,则可以用累加法求和。

方法2. 累乘法

同方法1，但是形式不同
若给出的\(k\)阶递推关系可以写做\(\frac{a_n}{a_{n-1}}=f(n)\),且\(f(n)\)易求积,则可以用累乘法求和。

方法3. 构造法

• \(Case1:\)
  形如 \(a_n=pa_{n-1}+qn+k\),可以用待定系数\(a_n+xn+y=p[a_{n-1}-x(n-1)+y]\)列二元方程求解$
• \(Case2:\)
  形如\(a_n=pa_{n-1}+f(n)\),可以同除以\(p^n\),得到\(\frac{a_n}{p^n}=\frac{a_{n-1}}{p^{n-1}}+\frac{f(n)}{p^{n-1}}\)，对于\(\{\frac{a_n}{p^n}\}\)成AP进行求解
• \(Case3:\)
  形如\(a_n=pa_{n-1}^q\),可以两边同时取对数,得到\(lna_n=qlna_{n-1}\),对于\(\{lna_n\}\)成GP进行求解
  此外，还有三角代换,分式代换等方法，不常考，这里不再赘述

方法4. 不动点法

解决形如\(a_n=\frac{aa_{n-1}+b}{ca_{n-1}+d}\)
对于方程\(x=\frac{ax+b}{cx+d}\)的根\(x_1,x_2\)，我们称其为\(\{a_n\}\)的不动点。

当\(x_1=x_2\)时,构造数列:
\(\frac{1}{a_n-x_1}=\frac{1}{a_{n-1}-x_1}+C\)，带入\(a_1,a_2\)求出\(C\)的值即可
当\(x_1 ≠ x_2\),构造数列:
\(\frac{a_n-x_1}{a_n-x_2}=C\frac{a_{n-1}-x_1}{a_{n-1}-x_2}\),带入求出\(C\)即可
当\(x_1,x_2∉ R\),但是\(x_1,x_2\)为单位根的形式,则\(a_n\)具有最小正周期,周期即为单位根对应的正整数

不动点法的原理为因式分解.

方法5. 特征方程(useless algorithm)

这个方法可以适用于所有k阶常系数线性齐次递推关系的求解，但是高中一般考察二阶，所以这里只叙述二阶。

对于二阶关系\(a_n=pa_{n-1}+qa_{n-1}\)
特征方程为\(x^2=px+q\),特征根\(\alpha,\beta\)为这两个方程的根

• 当 \(\alpha = \beta:\)
  \(a_n=[A\alpha+B(n-1)]\alpha^{n-1},A=\frac{a_1}{\alpha},B=\frac{a_2-a_1}{\alpha}\)
• 当 \(\alpha ≠ \beta:\)
  \(a_n=A\alpha^n+B\alpha^n,A=\frac{a_2-\beta a_1}{(\alpha-\beta)\alpha},B=\frac{a_2-\alpha a_1}{(\alpha-\beta)\beta}\)
  事实上这个方法一般不会考。

5.数列求和

方法1.错位相减法

考的最多的，错误率也极高的
适用范围：等差乘等比的数列
设\(a_n=b_nc_n,b_n为AP,c_n为GP,q为\{c_n\}公比,d为\{b_n\}公比\)
\(\sum_1^na_i=a_1+(b_2c_2+b_3c_3+...+b_nc_n)\)
\(q\sum^n_1a_i=(b_1c_2+b_2c_3+...+b_{n-1}c_n)+b_nc_{n+1}\)
上式减去下式得到:
\(\sum_1^na_i=\frac{a_1-d\sum^n_2c_i-b_nc_{n+1}}{(1-q)}\)

方法2.并项法

适用范围:平方/立方差求和
如:\(100^2-99^2+98^2-97^2+....+2^2-1^1\)
两两一组即为:\(\sum_1^{100}i=5050\)

方法3.倒序相加法

适用范围:可以很明显的发现数列首项和尾项有可求和关系
如:\(S=\sum^{100}_1iC^i_{100}\)
\(可以得到2S=\sum^{100}_0(iC^0_{100}+(100-i)C^{100}_{100})=100\sum^{100}_0C^i_{100}=100*2^{100}\)

方法4.裂项

常见裂项:
\(设a_n为等差，公差为d\)
\(\frac{k}{a_n(a_{n-1})}=\frac{k}{d}(\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n})\)
\(\frac{n}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\)
不想写了自己搜去

如何判断能否列项？

使用Gosper裂项算法，如果实在不会裂项可以使用，但是请注意考试时间。

6.数列放缩（数列不等式）

浙江卷必吃榜

常见题型1. 求和变通项

当你需要证明\(\sum^n_1a_i<\sum^n_1b_i\)的时候
只需要证明\(a_i<b_i\)即可
(注意首项)

常见题型2. 分式递推

方法:倒数或不动点推通项求解

常见题型3. 根式递推

方法:配方为\(a_n=(\sqrt{a_{n-1}}+k)^2+d\)进行放缩

题型2+题型3构成了浙江卷2021年第十题,可以做一下

常见题型4. 二次递推

方法: \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)是二次比一次型，使用基本不等式求解后进行累乘法即可

常见题型5. 分母为高次项的分式放缩

如:\(\sum^n_1\frac{1}{i^2}\)，可以将\(i^2\)改写为\(i(i+1)\)或\(i(i-1)\)进行裂项，其他次数同理，保证上次幂和下次幂平衡即可，看方向判断怎么放

tips:假如裂项后发现精度不够，可以考虑把前几项拎出来，对后面的项进行放缩

常见题型6. 特殊函数放缩

1.\(\frac{a+m}{b+m} \gt \frac{a}{b}(a>b>0,m>0)\)

2.\(sinx < x < tanx(x \in (0,\frac{\pi}{2}))\)

3.\(e^x \geq x+1, 1-\frac{1}{x} \leq lnx\leq x-1\)

4.\(lnx\leq \frac{1}{2}(x-\frac{1}{x}),lnx\leq \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} (x \geq 1)\)

ex.差分方法

你会发现数列和导数是放在同一本书的，这是因为数列是离散的，可导函数是连续的，这是一个离散到连续的过程，也是自然数域到实数域的推导过程

在实数域中，我们使用导数(微分)来研究函数的单调性,这一点在数列中我们使用\(a_{n+1} - a_n\)的正负来判断增减是一样的

差分的定义:

对于数列\(\{a_n\}\),定义其一阶(前向)差分数列\(\Delta a_n=a_{n+1}-a_n\)

注：差分有"向前差分","向后差分","中心差分"三种形式，这里研究的是向前差分

由累和法可以得到\(a_n,a_k,\Delta a_n\)的关系:
\(a_{n+1}=a_k+\sum^n_k\Delta a_i\)

一般我们使用\(a_{n+1}=a_1+\sum^n_1\Delta a_i\)

不难发现,\(\sum\)是差分的逆运算，我们定义\(\sum\)为逆差分算子

高阶差分:

定义\(\Delta^ka_n=\Delta^{k-1}a_{n+1}-\Delta^{k-1}a_n\),表示\(\{a_n\}\)的\(k\)阶差分

在此，我们可以解决一类叫做\(k\)阶等差数列的问题了
若一个数列的\(k\)阶差分数列为全零数列，那么其数列被称作\(k-1\)阶等差数列
换句话说，\(k\)阶等差数列的\(k\)阶差分数列为常数数列

了解了这个定义，我们就可以对高阶等差数列进行求和了

如求:\(a_n=n^2\)的前缀和\(S_n\)
发现\(a_n\)是一个二阶差分数列
\(S_n\)一定是一个三阶差分数列，表达式三次函数
于是设\(S_n=An^3+Bn^2+C_n+D\),

带入\(S_1,S_2,S_3,S_4\)求解即可

Abel变换(分部求和法)

这个变换给出了一个恒等式:
\(\sum^n_1a_ib_i=a_n(\sum^n_{i=1}b_i)-\sum^{n-1}_{i=1}\Delta a_i(\sum^i_{j=1}b_j)\)
使用分部求和法可以将积式转换为差分式与和式相乘
这个方法可以替代错位相减法,因为等差数列的一阶差分是常数数列，等比数列的一阶前缀和数列还是等比数列,可以将等差*等比转换为等比数列求和