欧拉函数（例题）

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正题：

1.仪仗队：

求从(0,0)点可以看到的点，我们考虑正比例函数的斜率，同一斜率上只能看到一个点，我们要知道对于斜率0~1在一个n*n的点阵中有多少可能的斜率使得有若干点在函数上。

观察规律：

1*1：显然答案为0（自己看到自己当然不算了）

2*2：有斜率0,1/2（当然0是重的，一下重复的就不再考虑了），所以多了一种，答案为1

3*3：多了1/3,2/3，答案为3

4*4：多了1/4,2/4,3/4；2/4重了，所以答案为5

5*5：多了1/5,2/5,3/5,4/5，答案为9

......

n*n:多了1/n,2/n,3/n,4/n,......,(n-1)/n中不重复的，不重复就是说分数要最简。

那就成了求1~n中所有数i中1~i-1中与i互质的数的个数只和，即为欧拉函数。

求出和来之后最终答案应该为2*ans+1（我们算过了y=x的下半边三角形的情况，还有上半边呢？）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool b[100010];
int n,prime[100010],total,phi[100010],ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    b[0]=b[1]=1;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!b[i])
        {
            prime[++total]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=total;j++)
        {
            if(i*prime[j]>n)break;
            b[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n-1;i++)ans+=phi[i];
    printf("%d",ans*2+1);
}

　　

2.Farey Sequence:

题目描述：对于任意整数n>1，存在分数集合序列F,F_i=a/b,其中0<a<b≤n,且(a,b)=1.给定T个正整数n，求F_n的项数。

 

解：

我们看这个集合的实质，集合不能有重复元素，所以分数必须是最简，那就是说对b∈[1，n]，a∈[1，b-1]中满足（a，b）互质的对数。

即求φ(1)+φ(2)+φ(3)+...+φ(n)，由于数据有多组，我们考虑预处理，用前缀和记录对任意n的答案。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool b[100010];
int n,prime[100010],total,phi[100010],ans[100010];
int main()
{
	
    n=100000;
    b[0]=b[1]=1;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!b[i])
        {
            prime[++total]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=total;j++)
        {
            if(i*prime[j]>n)break;
            b[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    ans[i]=ans[i-1]+phi[i];
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
    	scanf("%d",&n);
    	printf("%d\n",ans[n]);
	}
}