线性基(25.10.5)

线性基

概述

使用特殊方法得到A的子集B，使B可以通过不同元素乘除加减得到A的每个元素，B是最简状态，称为A的线性基

可以去解决线性相关/无关的问题，（两个向量通过不同的加减变化会不会变成另一个数）

思考方向

1. 发现题目中有存在使用不同元素乘除加减组合，考虑线性基
2. 发现（最大）异或和的问题，尝试考虑线性基

普通异或线性基

贪心线性基

1. 主要生成的B是所有元素异或和的可能不会有0
2. 存储的是原数本身，所以需要再贪心一下才能再输出
3. 本质是尝试一个数和其它的所有数异或和，看看能不能有新的位数出现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll p[64];
int n;
void ins(ll x) {
    for (int i=63; i>=0; i--) {
        if (!(x>>i)) continue;
        if (!p[i]) {
            p[i] = x;
            break;
        }
        x^=p[i];
    }
}
int main() {
    cin>>n;
    ll a;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        cin>>a;
        ins(a);
    }
    ll ans=0;
    for (int i=63; i>=0; i--) {
        ans = max(ans,ans^p[i]);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

高斯消元线性基

1. 把数已经消成了通解（如x1+x2+x3+x4化简后只存在单个主元），这样就可以直接操作

2. 这里的只是把所有数的主元以梯形形式呈现，没有进一步的归一化操作，但是已经够用了

   初中生也能看懂的高斯消元算法！！_哔哩哔哩_bilibili

异或高斯消元线性基

#include <iostream>
using ull = unsigned long long;  // 定义无符号长整型，避免符号位干扰
constexpr int MAXN = 1e5 + 5;    // 最大数据量，1e5+5

// 辅助函数：判断num的第deg位是否为1（返回该位的值，0或2^deg）
ull deg(ull num, int deg) {
 return num & (1ull << deg);  // 1ull确保移位操作按64位无符号数处理
}

ull a[MAXN];  // 存储原始数据的数组，后续会被改造成线性基
using std::cin;
using std::cout;

int main() {
 cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);  // 关闭同步，加速输入输出
 int n;
 cin >> n;
 for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];  // 读入n个数据

 int row = 1;  // 记录当前构建的线性基行数（有效元素数）

 // 从最高位（63位）向最低位（0位）处理，构建线性基
 // ~col 等价于 col >= 0（当col=-1时，~col=0，循环结束）
 for (int col = 63; ~col && row <= n; --col) {
     // 寻找当前列（第col位）中，从row行开始第一个该位为1的数
     for (int i = row; i <= n; ++i) {
         if (deg(a[i], col)) {  // 找到第col位为1的数
             std::swap(a[row], a[i]);  // 将该数交换到当前行（row行）
             break;
         }
     }

     // 如果当前行的第col位为0，说明该位无法找到线性基元素，跳过该位
     if (!deg(a[row], col)) continue;

     // 消去其他行中第col位的1，确保只有row行在第col位为1（高斯消元核心）
     for (int i = 1; i <= n; ++i) {
         if (i == row) continue;  // 跳过当前行（保留线性基元素）
         if (deg(a[i], col)) {    // 若其他行的第col位为1
             a[i] ^= a[row];      // 用当前行消去该位的1
         }
     }
     ++row;  // 成功构建一行线性基，处理下一行
 }

 // 计算最大异或和：线性基中所有非零元素异或的结果
 ull ans = 0;
 for (int i = 1; i < row; ++i) {  // row-1是线性基的有效元素个数
     ans ^= a[i];
 }
 cout << ans << '\n';
 return 0;
}

实数高斯消元线性基

#include <iostream>
using ull = unsigned long long;  // 定义无符号长整型，避免符号位干扰
constexpr int MAXN = 1e5 + 5;    // 最大数据量，1e5+5

// 辅助函数：判断num的第deg位是否为1（返回该位的值，0或2^deg）
ull deg(ull num, int deg) {
    return num & (1ull << deg);  // 1ull确保移位操作按64位无符号数处理
}

ull a[MAXN];  // 存储原始数据的数组，后续会被改造成线性基
using std::cin;
using std::cout;

int main() {
    cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);  // 关闭同步，加速输入输出
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];  // 读入n个数据

    int row = 1;  // 记录当前构建的线性基行数（有效元素数）

    // 从最高位（63位）向最低位（0位）处理，构建线性基
    // ~col 等价于 col >= 0（当col=-1时，~col=0，循环结束）
    for (int col = 63; ~col && row <= n; --col) {
        // 寻找当前列（第col位）中，从row行开始第一个该位为1的数
        for (int i = row; i <= n; ++i) {
            if (deg(a[i], col)) {  // 找到第col位为1的数
                std::swap(a[row], a[i]);  // 将该数交换到当前行（row行）
                break;
            }
        }

        // 如果当前行的第col位为0，说明该位无法找到线性基元素，跳过该位
        if (!deg(a[row], col)) continue;

        // 消去其他行中第col位的1，确保只有row行在第col位为1（高斯消元核心）
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (i == row) continue;  // 跳过当前行（保留线性基元素）
            if (deg(a[i], col)) {    // 若其他行的第col位为1
                a[i] ^= a[row];      // 用当前行消去该位的1
            }
        }

        ++row;  // 成功构建一行线性基，处理下一行
    }

    // 计算最大异或和：线性基中所有非零元素异或的结果
    ull ans = 0;
    for (int i = 1; i < row; ++i) {  // row-1是线性基的有效元素个数
        ans ^= a[i];
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

题目

P3812 【模板】线性基

一道普通模板

[P3857 TJOI2008] 彩灯 - 洛谷

发现存在两种状态相互异或和，所以考虑线性基

[P4570 BJWC2011] 元素 - 洛谷

发现题目需要去找序号之间的 异或线性不相关，考虑线性基，直接去存，可以保证线性不想关

[P3265 JLOI2015] 装备购买 - 洛谷

题目直接表明需要去找向量之间的线性不想关，所以延伸出实数向量的线性基（只能通过高斯消元写）（通过贪心的话难以向下实现）

以上均为线性基的模板题目

tip(25.10.5):目前线性基还有漏洞，没有进一步去完善，在NOIP之前准备补齐