弦图与区间图

原来想把论文里面所有没证的东西都证一遍,结果发现我太弱证不了【捂脸熊】那就把一些结论记一下吧QAQ以后有什么兴趣的话再来补证明

一些定义什么的自行脑补吧

1.对任意的一张图来说,团数<=色数,最大独立集数<=最小团覆盖数。当图是弦图的时候这两个式子都取到了等号。  

2.一张图是弦图当且仅当它有一个完美消除序列。

3.最大势算法(MCS)求一张弦图的完美消除序列。从n到1的顺序给每个点标号,设label[i]表示i与多少个已经标号的节点标号。那么每次选择label[i]最大点进行标号。

   mlogn的算法只要维护一个堆即可。O(n+m)可以考虑给每个label[i]=j的j挂链表表示谁的label是j。

4.判断一个序列是否为完美消除序列。

   设v[i+1……n]中与v[i]相邻的从前往后依次是v[j1]v[j2]。。。v[jk]只要判断v[j1]与其他的节点是否相邻即可。(正确性显然)

   复杂度O(n+m)我们可以考虑从1到n判断,每次就给 i 对应的j1挂链表表示j1需要与谁相邻,然后复杂度应该均摊是O(n+m)

5.设N(i)表示与i节点相邻的且在完美消除序列中处于i之后的节点集合。根据定义可知i∪N(i)为一个团。

   那么最大团一定是i∪N(i)的形式。证明可以把最大团的最前面那个点拎出来。

   同理可以证明所有的团都是i∪N(i)或者是i∪N(i)的一个子集。

6.弦图的最大点独立集可以把完美消除序列求出来后从前往后能选就选。(为什么?)

7.求出最大点独立集之后取最大点独立集中的每个点i∪N(i)的团即为一个最小团覆盖。(这里的N(i)的定义还和原来的相同?)

8.完美图指一个图的任意一个诱导子图都满足 团数=色数,而伴完美图指任何一个诱导子图都满足  最大点独立集=最小团覆盖 

   完美图=伴完美图。弦图是完美图。

9.区间图是弦图。

10.给定n个区间,要求选择最多的区间 使得区间不互相重叠。其实就是区间图的最大点独立集。

11.有n个积木,高度均为1,第i个积木的宽度范围为[Li, Ri],选择一个积木的下落顺序使得最后积木总高度尽可能小。其实就是区间图的最小染色数。

12.区间图的一个完美消除序列可以把所有的区间按照右端点从小到大排序而得到。

后面就弃疗了【捂脸熊】

 

posted @ 2015-04-11 10:36 ZYF-ZYF Views(...) Comments(...) Edit 收藏