数模培训第三周——排队论

排队论

简介

  排队论又称随机服务系统，它应用于一切服务系统，包括生产管理系统、通信系统、交通系统、计算机存储系统。现实生活中如排队买票、病人排队就诊、轮船进港、高速路上汽车排队通过收费站、机器等待修理等等都属于排队论问题。

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四种模型

等待制模型$M/M/S/\infty$

  该模型中顾客到达服从参数为$\lambda$的$Poisson$分布，在$\left[0,t\right]$时间内到达的顾客数$X\left(t\right)$服从的分布为：

$$P\left\{X\left(t\right)=k\right\}=\frac{{\left(\lambda t\right)}^k{e}^{-\lambda t}}{k!}$$

其他单位时间到达的顾客平均数为$\lambda$，$\left[0,t\right]$时间内到达的顾客平均数为$\lambda t$。顾客接受服务的时间服从负指数分布，单位时间服务的顾客平均数$\mu$，服务时间的分布为：

$$f\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\mu e^{-\mu t}t>0\\ 0\end{array}$$
哪个顾客接受服务的平均时间为$\frac{1}{\mu }$

只有一个服务台$S=1$情形

当系设稳定状态下系统有$i$个顾客的概率为$P_i\left(i=0,1,2,\cdots \right)$。$P_0$表示系统空闲的概率。则${\sum }_{i=0}^{\infty }{P}_i=1P_i⩾0,i=1,2,\cdots ,K$

平衡方程为：

$$\{\begin{array}{l}\lambda P_0=\mu P_1\\ \lambda P_{k-1}+\mu P_{k+1}=\left(\lambda +\mu \right)P_k\end{array}k=1,2,3,\cdots$$

则系统没有顾客的概率为：$P_0=1-\rho =1-\frac{\lambda }{\mu }$

计算出稳定状态下有$n$个顾客的概率：$P_n=\left(1-\rho \right){\rho }^{n}n=0,1,2,3,\cdots$，其中$\rho =\frac{\lambda }{\mu }$称为系统的服务强度。

系统中顾客平均队长：

$$L_s=\sum _{n=0}^{\infty }n{P}_n=\left(1-\rho \right)\sum _{n=0}^{\infty }n{\rho }^n=\frac{\rho }{1-\rho }=\frac{\lambda }{\mu -\lambda }$$

系统中顾客平均等待队长：

$$L_q=\sum _{n=1}^{\infty }(n-1)\cdot p_n=(1-\rho )\sum _{n=1}^{\infty }(n-1)\cdot {\rho }^n=\frac{{\rho }^2}{1-\rho }=\frac{{\lambda }^2}{\mu (\mu -\lambda )}$$

系统中顾客的平均停留时间：$W_s=\frac{1}{\mu -\lambda }$

系统中顾客平均等待时间：$W_q=\frac{1}{\mu -\lambda }-\frac{1}{\mu }=\frac{\lambda }{\mu (\mu -\lambda )}$

容易得到：$L_s=\lambda W_s，L_q=\lambda W_q，W_s=\frac{L_s}{\lambda }，W_q=\frac{L_q}{\lambda }$，该公式称为$Little$公式，在其他排队论模型中依然适用。

系统有多个服务台$S>1$情形

当系设稳定状态下系统有$i$个顾客的概率为$P_i\left(i=0,1,2,\cdots \right)$。$P_0$表示系统空闲的概率。则${\sum }_{i=0}^{\infty }{P}_i=1P_i⩾0,i=1,2,\cdots ,K$

平衡方程为：
$$\{\begin{array}{l}\mu P_1=\lambda P_0\\ (k+1)\mu P_{k+1}+\lambda P_{k-1}=(\lambda +k\mu )P_{k}1\le k\le s-1\\ s\mu P_{k+1}+\lambda P_{k-1}=(\lambda +s\mu )P_{k}k\ge s\end{array}$$

系统中有$s$个服务台，系统服务能力为$s\mu$，服务强度为$\rho =\frac{\lambda }{s\mu }$

系统中顾客平均队长：$L_s=s\rho +\frac{(s\rho {)}^s\rho }{s!(1-\rho {)}^2}\cdot p_0$
其中$p_0={\left[{\sum }_{k=0}^{s-1}\frac{(s\rho {)}^k}{k!}+\frac{(s\rho {)}^s}{s!(1-\rho )}\right]}^{-1}$，表示服务台都空闲的概率。

系统中顾客停留时间为：$W_s=\frac{L_s}{\lambda }$

系统中顾客的平均等待时间为：$W_q=W_s-\frac{1}{\mu }$

系统中顾客的平均等待对长为：$L_q=\lambda W_q$

Lingo中相关计算公式

@peb(load,S)
允许排队时系统繁忙的概率：顾客等待概率
@pel(load,S)
不允许排队时系统损失概率
@pfs(load,S)
有限源的泊松服务系统等待互殴返回顾客数量的期望值：单位时间内进入系统的平均顾客数

• 顾客等待概率的公式$P_{wait}=@peb(load,S)$其中$S$为服务台个数，$load$为系统到达的荷载，即$load=\frac{\lambda }{\mu }$。
• 顾客的平均等待时间公式：$W_q=P_{wait}\frac{T}{S-load}$其中$T$为顾客接受服务的平均时间，有$T=\frac{1}{\mu }$
• 系统中顾客的平均停留时间：$W_s=W_q+\frac{1}{\mu }$
• 系统中顾客的平均队长：$L_s=\lambda W_s$
• 系统中顾客的平均等待队长：$L_q=\lambda W_q$

例题一

  某机关接待室只有1名对外接待人员，每天工作10小时，来访人员和接待时间都是随机的。设来访人员按照$Poisson$流到达，到达速率为$\lambda =8$人/小时，接待人员的服务速率为$\mu =9$人/小时，接待时间服从负指数分布。

1. 计算来访人员的平均等待时间，等候的平均人数。
2. 若到达速率增大为$\lambda =20$人/小时，每个接待人员的服务速率不变，为使来访问人员平均等待时间不超过半小时，最少应该配置几名接待人员。

问题1属于等待制模型$M/M/1/\infty$

!写法1;
Model :

lambda = 8;
mu = 9;
S = 1;
Wq = lambda / (mu * (mu - lambda));
Lq = lambda * Wq;

End
                                           Variable           Value
                                             LAMBDA        8.000000
                                                 MU        9.000000
                                                  S        1.000000
                                                 WQ       0.8888889
                                                 LQ        7.111111
!写法2;
Model :

lambda = 8;
mu = 9;
S = 1;
T = 1 / mu;
load = lambda / mu;
Pwait = @peb(load, S); !等待概率;
Wq = Pwait * T / (S - load); !平均等待时间;
Lq = lambda * Wq; !顾客的平均等待队长;

End
                                           Variable           Value
                                             LAMBDA        8.000000
                                                 MU        9.000000
                                                  S        1.000000
                                                  T       0.1111111
                                               LOAD       0.8888889
                                              PWAIT       0.8888889
                                                 WQ       0.8888889
                                                 LQ        7.111111

问题2属于等待制模型$M/M/S/\infty$

Model :

lambda = 20;
mu = 9;
T = 1 / mu;
load = lambda / mu;
Pwait = @peb(load, S);
Wq = Pwait * T / (S - load);
Lq = lambda * Wq;
TT = Wq * 60;

Min = S;

Wq <= 0.5;
S >= 3;
@gin(S);

End
                                           Variable           Value
                                             LAMBDA        20.00000
                                                 MU        9.000000
                                                  T       0.1111111
                                               LOAD        2.222222
                                              PWAIT       0.5534800
                                                  S        3.000000
                                                 WQ       0.7906857E-01
                                                 LQ        1.581371
                                                 TT        4.744114

例题二

  某修理厂为设备检修服务。已知检验
的设备（顾客）到达服从$Poisson$分布，每天到达率$\lambda =42$台，当需要等待时，每台造成的损失为400元。服务(检修)时间服从负指数分布,平均每天服务率$\mu =20$台。每设置一个检修人员每天的服务成本为160元。问设立几个检修人员才能使平均总费用最小？

问题分析与求解

该模型是$M/M/S/\infty$

Model :

lambda = 42;
mu = 20;
load = lambda / mu;
T = 1 / mu;
Pwait = @peb(load, S);
Wq = Pwait * T / (S - load);
Lq = lambda * Wq;
Ls = Lq + lambda / mu;

Min = 160 * S + 400 * Ls;

S >= 2;
@gin(S);

End
  Global optimal solution found.
  Objective value:                              1568.167
                       Variable           Value        Reduced Cost
                          PWAIT       0.1994247            0.000000
                              S        4.000000            31.93978
                             WQ       0.5248019E-02        0.000000
                             LQ       0.2204168            0.000000
                             LS        2.320417            0.000000

最小平均费用为1568.167，最优人数为S=4，平均队长为LS=2.320417

损失制模型$M/M/S/S$

$M/M/S/S$模型表示顾客到达人数服从$Poisson$分布，单位时间到达率为$\lambda$，服务台服务时间服从负指数分布，单位时间服务平均人数为$\mu$。当$S$个服务台被占用后，顾客自动离开，不再等待。

Lingo中相关计算公式

• 系统损失率：$P_{lost}=@pel(load,S)$其中$S$为服务台个数，$load$为系统到达的载荷，即$load=\frac{\lambda }{\mu }$。
• 单位时间内进入系统平均顾客数${\lambda }_e=\lambda \left(1-P_{load}\right)$
• 系统中顾客的平均队长（系统在单位时间内占用服务台比值）$L_s=\frac{{\lambda }_e}{\mu }$
• 系统中顾客的平均逗留时间（服务时间）$W_s=\frac{1}{\mu }=T$
• 系统服务台的效率$\eta =\frac{L_s}{S}$在损失制排队模型中，顾客平均等待时间为$W_q=0$，平均等待队长为$L_q=0$，因为没有顾客等待。

例题

  某单位电话交换台有一部300门内线电话的总机，已知上班时间有30%的内线分机平均每30分钟要一次外线电话，70%的分机每隔70分钟时要一次外线电话。又知从外单位打来的电话的呼唤率平均30秒一次，设与外线的平均通话时间为3分钟，以上时间都服从负指数分布。如果要求外线电话接通率为95%以上，问电话交换台应设置多少外线？

问题分析与求解

电话交换台服务分为两部分：内线打外线，外线打内线，内线打外线的服务强度：

$${\lambda }_1=\left(\frac{60}{30}\times 30\%+\frac{60}{70}\times 70\%\right)\times 300=360$$

外线打内线的服务强度：${\lambda }_2=\frac{60}{0.5}=120$
总强度为$\lambda ={\lambda }_1+{\lambda }_2=480$
电话平均服务时间为：$T=\frac{3}{60}=0.05$小时，服务率$\mu =\frac{60}{3}=20$个

Model :

lambda = 480;
mu = 20;
load = lambda / mu;
Plost = @pel(load, S);
lambdae = lambda * (1 - Plost);
Ls = Lambdae / mu;
eta = Ls / S;

Min = S;

Plost <= 0.05;
@gin(S);

End
                       Variable           Value        Reduced Cost
                         LAMBDA        480.0000            0.000000
                             MU        20.00000            0.000000
                           LOAD        24.00000            0.000000
                          PLOST       0.4012069E-01        0.000000
                              S        30.00000            1.000000
                        LAMBDAE        460.7421            0.000000
                             LS        23.03710            0.000000
                            ETA       0.7679035            0.000000

混合制模型$M/M/S/K$

  混合制模型$M/M/S/K$，表示顾客到达人数服从$Poisson$分布，单位时间到达率为$\lambda$，服务台服务时间服从负指数分布,单位时间服务平均人数为 ，系统有$S$个服务台，系统对顾客的容量为$K$。当$K$个位置被顾客占用时，新到的顾客自动离去。当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等候

基本公式

• 设稳定状态下系统有$i$个顾客的概率为$P_i\left(i=0,1,2,\cdots ,K\right)$。
• $P_0$表示系统空闲的概率。因此：${\sum }_{i=0}^K{P}_i=1P_i⩾0,i=1,2,\cdots ,K$
• 设${\lambda }_i$表示系统中有$i$个顾客时的输入强度，${\mu }_i\left(i=0,1,2,\cdots ,K\right)$表示系统中有$i$个顾客时服务强度。在稳定状态下，可建立平衡方程：

$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_0{P}_0={\mu }_1{P}_1\\ {\lambda }_0{P}_0+{\mu }_2{P}_2=\left({\lambda }_1+{\mu }_1\right)P_1\\ {\lambda }_{i-1}{P}_{i-1}+\left(i+1\right){\mu }_{i+1}{P}_{i+1}=\left({\lambda }_i+i{\mu }_i\right)P_i\left(i=2,\cdots ,S-1\right)\\ S\mu P_{i+1}+\lambda P_{i-1}=\left(\lambda +S\mu \right)P_i\left(i=S,S+1,\cdots ,K-1\right)\\ {\lambda }_{i-1}{P}_{K-1}=S{\mu }_K{P}_K\end{array}$$

对于混合制系统$M/M/S/K$，有：${\lambda }_i=\lambda \left(i=0,1,2,\cdots ,K\right)$

$${\mu }_i\{\begin{array}{c}i\mu i⩽S\\ S\mu i>S\end{array}\left(i=1,2,\cdots ,K\right)$$

基本参数计算

当系统中有$K$个人，到达顾客流失，则系统损失概率：$P_{lost}=P_K$
单位时间进入系统平均顾客数：${\lambda }_e=\lambda \left(1-P_{lost}\right)=\lambda \left(1-P_K\right)$
系统中顾客的平均队长：$L_s={\sum }_{i=0}^{K}i{P}_i$
系统中顾客的平均等待队长：$L_q={\sum }_{i=S}^K\left(i-S\right)P_i=L_s-\frac{{\lambda }_e}{\mu }$
系统中顾客的平均停留时间：$W_s=\frac{L_s}{{\lambda }_e}$
系统中顾客的是平均等待时间：$W_q=W_s-\frac{1}{\mu }=W_s-T$

例题

  某理发店有4名理发师，因场地所限，店里做多容纳12名顾客，假设来理发的顾客按$Poisson$分布到达，平均到达率为18人/小时，理发时间服从负指数分布，平均每人12分钟。求该系统的各项指标。

问题分析与求解

该模型是混合制模型$M/M/4/12$

Model :

Sets :
row/1..12/ : P;

Endsets

lambda = 18;
mu = 5;
S = 4;
K = 12;
P0 + @sum(row : P) = 1; !P0为理发师空闲率;
lambda * P0 = mu * P(1);
lambdas * P0 + 2 * mu * P(2) = (lambda + mu) * P(1);
@for(row(i) | i #gt# 1 #and# i #lt# S : lambda * P(i - 1) + (i + 1) * mu * P(i + 1) = (lambda + i * mu) * P(i));
@for(row(i) | i #ge# S #and# i #lt# K : lambda * P(i - 1) + S * mu *P(i + 1) = (lambda + S * mu) * P(i));
lambda * P(K - 1) = S * mu * P(K);
Plost = P(K); !损失顾客率;
lambdae = lambda * (1 - P(K)); !实际到达率;
Ls = @sum(row(i) : i * P(i)); !平均队长;
Lq = Ls - lambdae / mu; !平均等待队长;
Ws = Ls / lambdae; !平均停留时间;
Wq = Ws - 1 / mu; !平均等待时间;

End
                                           Variable           Value
                                                 P0       0.1620043E-01
                                              PLOST       0.4880511E-01
                                            LAMBDAE        17.12151
                                                 LS        5.721810
                                                 LQ        2.297508
                                                 WS       0.3341884
                                                 WQ       0.1341884

闭合制模型$M/M/S/K/K$

  $M/M/S/K/K$模型表示系统有$S$个服务台，顾客到达人数服从$Poisson$分布，单位时间到达率为 ，服务台服务时间服从负指数分布，单位时间服务平均人数为 。系统容量和潜在的顾客数都为$K$。

基本参数计算

• 平均队长$L_s=@pdf\left(load,S,K\right)$其中$S$为服务台个数，$load$为系统到达的载荷，这里$load=K\frac{\lambda }{\mu }$
• 单位时间平均进入系统的顾客数${\lambda }_e=\lambda \left(K-L_s\right)$
• 顾客处于正常情况下的概率$P=\frac{K-L_s}{K}$
• 系统中顾客的平均等待队长$L_q$，平均停留时间$W_s$，平均等待时间$W_q$为：$L_q=L_s-\frac{{\lambda }_e}{\mu }，W_s=\frac{L_s}{{\lambda }_e}，W_q=\frac{L_q}{{\lambda }_e}$
• 每个服务台的工作强度$P_{work}=\frac{{\lambda }_e}{S\mu }$

例题

  现有某工厂有30台自动车床，由4名工人负责维修管理。当机床需要加料、发生故障或刀具磨损时就自动停车，等待工人照管。设平均每台机床两次停车时间间隔为1小时，停车时需要工人照管的平均时间为5分钟，并服从负指数分布。求该排队系统的各项指标。

问题分析与求解

该模型是$M/M/4/30/30$

Model :

lambda = 1;
S = 4;
mu = 12;
K = 30;
load = K * lambda / mu;
Ls = @pfs(load, S, K);
lambdae = lambda * (K - Ls);
Prob = (K - Ls) / K;
Lq = Ls - lambdae / mu;
Wq = Lq / lambdae;
Ws = Ls / lambdae;
Pwork = lambdae / (S * mu);

End
                                           Variable           Value
                                                 LS        2.528571
                                            LAMBDAE        27.47143
                                               PROB       0.9157143
                                                 LQ       0.2392855
                                                 WQ       0.8710340E-02
                                                 WS       0.9204367E-01
                                              PWORK       0.5723214

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计算机模拟

当理论难以计算解决，我们可以使用计算机模拟的方法来解决排队论的问题。

问题1

问题描述

  考虑一个收款台的排队系统。某商店只有一个收款台，顾客到达收款台的时间间隔服从平均时间为10秒钟的负指数分布，负指数分布为：

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\lambda }{e}^{-\frac{x}{\lambda }}x>0\\ 0x⩽0\end{array}$$

每个顾客的服务时间服从均值为6.5秒，标准差为1.2秒的正态分布。利用计算机仿真计算顾客在收款台的平均逗留时间，系统的服务强度。（假设可以无限工作不考虑每天工作时长）我们通过模拟$10^8$人次

模型建立

  设第$i$个人的到达时间为$a_i$，开始接收服务的时间为$b_i$，离开时间为$c_i$。间隔时间服从负指数分布序列$\left\{dt\left(n\right)\right\}$，接受时间服从正太分布序列$\left\{st\left(n\right)\right\}$，总共考虑$10^8$人次，不考虑工作时间，则可列出下列模型：

$$\{\begin{array}{l}{a}_1=0\\ a_i=a_{i-1}+d{t}_{i-1}i=2,3,\cdots ,n\\ b_1=0\\ c_1=s{t}_1\\ b_i=\max \left(a_i,c_{i-1}\right)i=2,3,\cdots ,n\end{array}$$

求解&结果

%%
clear, close, clc

%%
tic
total_wait = zeros(1, 100);
total_st = zeros(1, 100);
for j = 1 : 100
    n = 10^6;
    dt = exprnd(10, 1, n - 1); % 到达时间间隔
    st = normrnd(6.5, 1.2, 1, n); % 服务台服务时间
    a = zeros(1, n); % 每个人到达时间
    b = zeros(1, n); % 每个人开始服务的时间
    c = zeros(1, n); % 每个人离开的时间
    wait = zeros(1, n); % 每个人在系统停留的时间
    c(1) = b(1) + st(1); % 第一个人离开时间
    wait(1) = c(1); % 第一个人在系统停留的时间
    for i = 2 : n
        a(i) = a(i - 1) + dt(i - 1); % 第i个人到达的时间
        b(i) = max(a(i), c(i - 1)); % 第i个人开始服务的时间
        c(i) = b(i) + st(i); % 第i个人离开时间
        wait(i) = c(i) - a(i); % 第i个人在系统停留的时间
    end
    total_wait(j) = mean(wait);
    total_st(j) = sum(st) / c(n);
end
fprintf('顾客平均停留时间%f秒\n', mean(total_wait))
fprintf('系统工作强度%f\n', mean(total_st))
toc

顾客平均停留时间12.741767秒
系统工作强度0.649982

问题2

问题描述

  某码头有一卸货场，轮船一般夜间到达，白天卸货。每天只能卸货4艘船，若一天内到达数超过4艘，那么推迟到第二天卸货。根据过去经验，码头每天船达到数服从下表的概率分布。求每天推迟卸货的平均船数。

到达船数	0	1	2	3	4	5	6	7	$⩾8$
概率	0.05	0.1	0.1	0.25	0.2	0.15	0.1	0.05	0

模型建立

  该问题可以看作单服务台的排队系统。到达时间服从的是给定的离散分布，服务时间也不服从负指数分布。不能直接利用理论公式求解，可采用计算机模拟求解。
  总共模拟$10^8$天，不考虑实际情况，模拟出第$i$天到达的船数$x_i,i=1,2,\cdots ,n$我们可以列出以下模型：

$$\{\begin{array}{l}{a}_1=x_1\\ b_1=\max \left(4,a_1\right)\\ c_1=a_1-b_1\\ a_i=x_i+c_{i-1}i=2,3,\cdots ,n\\ b_i=\max \left(4,a_i\right)i=2,3,\cdots ,n\\ c_i=a_i-b_{i}i=2,3,\cdots ,n\end{array}$$

求解&结果

%%
clear, close, clc

%%
tic
n = 10 ^ 8;
x = randsrc(1, n, [0 : 7; 0.05, 0.1, 0.1, 0.25, 0.2, 0.15, 0.1, 0.05]); % 存储每天到达的船数
a = zeros(1, n); % 存储每天需要卸货的船数
b = zeros(1, n); % 存储每天实际卸货的船数
c = zeros(1, n); % 存储每天推迟卸货的船数
a(1) = x(1);
b(1) = min(4, a(1));
c(1) = a(1) - b(1);
for i = 2 : n
   a(i) = x(i) + c(i - 1);
   b(i) = min(4, a(i));
   c(i) = a(i) - b(i);
end
fprintf('每天推迟卸货的平均船数%f\n', mean(c))

%% 随机数产生的概率
sum1 = zeros(8, 1);
avg = zeros(8, 1);
for i = 1 : 8
   sum1(i) = length(find(x == (i - 1)));
end
for i = 1 : 8
   avg(i) =  sum1(i) / n;
   fprintf('生成每天到达船数%d的概率约为%.2f\n', i - 1, avg(i))
end

toc

每天推迟卸货的平均船数2.541571
生成每天到达船数0的概率约为0.05
生成每天到达船数1的概率约为0.10
生成每天到达船数2的概率约为0.10
生成每天到达船数3的概率约为0.25
生成每天到达船数4的概率约为0.20
生成每天到达船数5的概率约为0.15
生成每天到达船数6的概率约为0.10
生成每天到达船数7的概率约为0.05

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