欧几里得？x

可以去看dalao博客

orz

1、欧几里得算法

带余除法定理：a，b∈Z，其中b>0，存在唯一q及r，使a=bq+r，其中0<=r<b;

辗转相除法(欧几里得算法)依据：(a,b)=(b,r)

C++实现：

递推

#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
       int n,m,r;
       cin>>m>>n;
       r=m%n;
       while(r!=0)
       {
              m=n;
              n=r;
              r=m%n;
       }
       cout<<n;
}

 递归

int gcd (int x,int y)
{
    return y == 0 ? gcd(y,x%y);
}

2.扩展欧几里得算法(裴蜀定理)

其中a，b是任意两个不全为0的整数，则存在两个整数x，y，使得ax+by=(a,b);

当(a,b)=1(互素)时，使ax+by=1;

应用：一次不定方程ax+by=c有解的充分条件是(a,b)|c；(|的意思是整除);

 

c++实现：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    long long r=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;
    x=y;y=t-y*(a/b);
    return r; 
}

int main()
{
    long long a1,b1,x1,y1;
    cin>>a1>>b1;
    exgcd(a1,b1,x1,y1);
    while(x1<0) x1+=b1;
    cout<<x1;
    return 0;
} 

 

应用：1、解不定方程ax+by=c

d=exgcd(a,b,x,y);

If(c%d==0)有解，否则无解。

x=c/d*x,y=c/d*y;

则x,y为原方程的一组解,且|x|+|y|的值最小。

其它的解为（x+k*b,y-k*a）

 

2、解线性同余方程  

ax≡b(mod n)

也就是解不定方程ax-ny=b

 

3、解模的逆元

也就是解线性同余方程ax≡1(mod n).