辨析：IIR(Infinite Impulse Response)与FIR(Finite Impulse Response)

• IIR和FIR系统描述的是系统的抽样响应特性,其中$ x(n)=\delta(n) $

  1. 举例：一个平均器的系统是FIR系统，因为它的抽样响应仅在变量n取某3个值的时候有值，是有限长的；一阶自回归模型由于包含了从输出到输入的反馈，所以其抽样相响应是无限长的。

• 令$ x(n)=e^{jwn}$, 得到的系统输出就是频率响应，其数学表示如下：

  \[\begin{align} y(n) &= \sum_{k=- \infty}^{\infty} h(k)x(n-k)=\sum_{k=- \infty}^{\infty} h(k)e^{j(n-k)w}\\ &=e^{jwn}\sum_{k=- \infty}^{\infty}h(k)e^{-jwk}\\ &=e^{jwn}H(e^{jw}) \end{align} \]

  我们称\(e^{jwn}\)为系统的特征函数，\(H(e^{jw})\)为系统的特征值。（线性代数无处不在）

• 一个LST系统至少有四种描述方式：

  1. 频率响应
     \[H(e^{jw})=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-jwn}\\ \]

2. 转移函数

   \[\begin{align} H(z)&=\sum_{n=0}^{\infty}h(n)z^{-n}\\ or \quad H(e^{jw})&= \frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{r=0}^{M}b(r)z^{-r}}{1+\sum_{k=1}^{N}a(k)z^{-k}} \end{align} \]

   转移函数和差分方程可以互相推导，他们分别是系统物理性质的时域表达和频域表达。

3. 差分方程

   \[y(n) = -\sum_{k=1}^{\infty}a(k)y(n-k)+\sum_{r=0}^{M}b(r)x(n-r) \]

4. 卷积关系

\[y(n) = \sum_{k= -\infty} ^{\infty}x(k)h(n-k)=x(n)*h(n) \]

• 数字滤波器的实现原理

  1. IIR的传递函数
  \[H(z)=\frac{\sum_{k=0}^{M} b_{k} z^{-k}}{1-\sum_{k=1}^{N} a_{k} z^{-k}}=\frac{Y(z)}{X(z)} \]

  对应的差分方程为

\[y(n)=\sum_{k=1}^{N} a_{k} y(n-k)+\sum_{k=0}^{M} b_{k} x(n-k) \]

​ 2. FIR的传递函数

\[H(z)=\sum_{n=0}^{N-1} h(n) z^{-n} \]

​ 对应的差分方程为

\[y(n)=\sum_{m=0}^{N-1} h(m) x(n-m) \]

FIR滤波器的设计

• 线性相位

  当一个系统的相频特性满足如下的线性相位

  \[arg[H(e^{jw})]=-kw \]

  时，输出满足

  \[y(n) = x(n-k) \]

  是无失真的。

  我的理解——如要时域上偏移的点数相同，则频率越高，对应的相位越长。

  _{结论：相位延迟反映了载波信号的延迟，群延迟反映了信号包络的延迟。似乎不重要。}

• FIR滤波器在实际中更常用，原因是FIR滤波器的单位响应是有限长的，更容易实现某种对称性，从而实现线性相位。若FIR滤波器是线性相位的，那么它应该满足：

\[h(n)=\pm h(N-1-n) \]

​

• 在这里，\(h(n)\)有偶对称和奇对称两种可能，\(N\)也有可能为奇数或者偶数。这2组可能的组合\(C_2^2\)构成四种情况，在一些文献里分别被称作类型I，类型II，类型III和类型IV。

• 在设计一般用途的滤波器时，\(h(n)\)多取偶对称，长度n也往往取为奇数。

IIR与FIR的应用：

引用陈怀琛的“数字信号处理教程－－MATLAB释义与实现”

从性能上来说，IIR滤波器传递函数包括零点和极点两组可调因素，对极点的惟一限制是在单位圆内。因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存储单元少，计算量小，效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。选择性越好，则相位非线性越严重。FIR滤波器传递函数的极点固定在原点，是不能动的，它只能靠改变零点位置来改变它的性能。所以要达到高的选择性，必须用较高的阶数；对于同样的滤波器设计指标，FIR滤波器所要求的阶数可能比IIR滤波器高5-10倍，结果，成本较高，信号延时也较大；如果按线性相位要求来说，则IIR滤波器就必须加全通网络进行相位校正，同样要大大增加滤波器的阶数和复杂性。而FIR滤波器却可以得到严格的线性相位。

从结构上看，IIR滤波器必须采用递归结构来配置极点，并保证极点位置在单位圆内。由于有限字长效应，运算过程中将对系数进行舍入处理，引起极点的偏移。这种情况有时会造成稳定性问题，甚至产生寄生振荡。相反，FIR滤波器只要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，因此造成的频率特性误差也较小。此外FIR滤波器可以采用快速傅里叶变换算法，在相同阶数的条件下，运算速度可以快得多。

另外，也应看到，IIR滤波器虽然设计简单，但主要是用于设计具有分段常数特性的滤波器，如低通、高通、带通及带阻等，往往脱离不了模拟滤波器的格局。而FIR滤波器则要灵活得多，尤其是他易于适应某些特殊应用，如构成数字微分器或希尔波特变换器等，因而有更大的适应性和广阔的应用领域。

从上面的简单比较可以看到IIR与FIR滤波器各有所长，所以在实际应用时应该从多方面考虑来加以选择。从使用要求上来看，在对相位要求不敏感的场合，如语言通信等，选用IIR较为合适，这样可以充分发挥其经济高效的特点；对于图像信号处理，数据传输等以波形携带信息的系统，则对线性相位要求较高。如果有条件，采用FIR滤波器较好。当然，在实际应用中可能还要考虑更多方面的因素。

不论IIR和FIR，阶数越高，信号延迟越大；同时在IIR滤波器中，阶数越高，系数的精度要求越高，否则很容易造成有限字长的误差使极点移到单位园外。因此在阶数选择上是综合考虑的。