ABC224G题解

ABC224

G.Roll or Increment

题意：

有一个 \(N\) 面的骰子，掷出 \(1\) ~ \(N\) 的概率相等。初始数字为 \(S\)，目标数字为 \(T\)。有两种操作：

1. 花费 \(A\) ，使当前数字加 1；

2. 花费 \(B\) ，重掷。

询问最优策略下到达 \(T\) 的期望花费。

\(1 \le S,T \le N \le 10^9,1\le A,B \le 10^9\)

解法：

由于操作 2 前的操作 1 是无效的，所以最优策略一定分为两部分：

1. 一直进行操作 2 使当前数字距离 \(T\) 足够近（或在 \(S\leq T\) 且距离足够近时不进行操作 2）；
2. 一直进行操作 1 使当前数字到达 \(T\)。

足够近的概念比较模糊，所以我们定义足够近为当前数字小于 \(T\) 且二者差小于等于 \(K\)，那么当数字落在区间 \([T-K,T]\) 内时达到足够近条件，于是我们可以得到期望花费为 \(\frac{BN}{K+1}+\frac{1}{K+1}\times A\times \sum\limits_{i=T-K} ^T (T-i)\)，即 \(\frac {BN}{K+1}+\frac{AK}{2}\)。

观察到这个式子里只有 \(K\) 未确定，且形式非常像均值不等式里的 \(x+\frac{1}{x}\)，故考虑使用均值不等式去掉 \(K\)：

\[\begin{aligned} \frac {BN}{K+1}+\frac{AK}{2}&=\frac {BN}{K+1}+\frac{A(K+1)}{2}-\frac{A}{2} \\ &\geq2\sqrt{\frac {BN}{K+1} \cdot \frac{A(K+1)}{2}}-\frac{A}{2}\\&=\sqrt{2ABN}-\frac{A}{2}\end{aligned} \]

当 \(\frac {BN}{K+1}=\frac{A(K+1)}{2}\) 即 \(K=\sqrt{\frac{2BN}{A}}-1\) 时取等。

但是发现在 \(N < \frac{A}{2B}\) 或 \(N>\frac{AT^2}{2B}\) 时取等条件无法成立，由于 \(\frac {BN}{K+1}+\frac{AK}{2}\) 在前两个情况下在区间 \([0,T-1]\) 具有单调性，所以将 \(K=0\) 或 \(T-1\) 算一下即可。

代码如下：

Code (C++)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ld long double
ld n,s,t,a,b,ans;
inline ld cal(int k){
    return 1.0*b*n/(k+1)+1.0*a*k/2.0;
}
int main(){
    cin>>n>>s>>t>>a>>b;
    ans=min(cal(0),cal(t-1));
    if(s<=t)ans=min(ans,a*(t-s));
    int mink=sqrtl(2.0*b*n/a)-1;
    if(mink>=0 && mink<t)ans=min(ans,cal(mink));
    if(mink-1>=0 && mink-1<t)ans=min(ans,cal(mink-1));
    if(mink+1>=0 && mink+1<t)ans=min(ans,cal(mink+1));
    printf("%.16Lf\n",ans);
    return 0;
}