特殊类型的矩阵

scalar matrix, 纯量矩阵，也译作标量矩阵或数量矩阵, 指的是 \(\kappa I\) 型这样的矩阵，其中 \(\kappa\) 是常数，\(I\) 是单位矩阵. 纯量矩阵有一个性质就是左乘或右乘一个纯量矩阵效果是一样的, 更一般地, 左乘或右乘一个对角矩阵的效果也是一样的. 对角矩阵定义：除开对角元的所有元素都是零元素的矩阵称为对角矩阵. 向量的对角化的数学描述：假定向量 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n $,则 \(A=[a_{ij}]\in \mathbb{M}_n\) 满足 \(a_{ii}=a_i\) 对\(i=1,2,\cdots,n\) 且 \(a_{ij}=0\) 如果 \(i\neq j\).记作 \(A=diag(x)\).

对角矩阵是我们熟知的一类特殊矩阵。对角块矩阵 \(A\) 用直和记号表示成如下的形式 \(A=\oplus_{i=1}^k A_{ii}\),类似假定矩阵 \(B=\oplus_{i=1}^k B_{ii}\).其中 \(A_{ii}\) 和 \(B_{ii}\) 具有相同的块状结构（规模一样）.那么对于矩阵乘法，\(A\)和 \(B\)可交换的充要条件是\(A_{ii}\)和 \(B_{ii}\)可交换.下面的一段matlab代码初学者可以在matlab里感受一下计算结果.

    B1=rand(2,2);
    B2=rand(3,3);
    B3=rand(2,2);
    A=blkdiag(A1,A2,A3);
    B=blkdiag(B1,B2,B3);
    C1=A1*B1;
    C2=A2*B2;
    C3=A3*B3;
    C=blkdiag(C1,C2,C3);
    if C==A*B
        fprintf('C==A*B\n');
    else
        fprintf('C!=A*B\n');
    end
    if A*B == B*A
        fprintf('commutation suits for block diagonal matrices\n');
    else
        fprintf('commutation does not suit for block diagonal matrices\n');
    end

块对角矩阵还有如下的性质

\[\Bigl (\begin{smallmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{smallmatrix} \Bigr )^{-1}=A^{-1}\oplus B^{-1}= \Bigl( \begin{smallmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1} \end{smallmatrix} \Bigr) \]