正态分布与中心极限定理

正态分布

定义

正态分布英语:normal distribution)又名高斯分布英语:Gaussian distribution),是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在统计学上十分重要,经常用在自然社会科学来代表一个不明的随机变量。

也就是说,正态分布一种分布形式,它实际上有很多表示形式,最常见的有概率密度函数,累计分布函数等等来表示。

在OI界出过的也仅有概率密度函数因为其他的我没听说过

概率密度公式

设期望为$\mu$,方差为$\sigma$

则有$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^ {-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$

$f(x)$表示该点出现的概率

如果一个随机变量$X$服从这个分布,我们写作$X \sim N(\mu, \sigma)$

特殊的,如果$\mu = 0, \sigma = 1$,这个分布被称为标准正态分布

 

中心极限定理

简介

中心极限定理概率论中的一组定理。中心极限定理说明,在适当的条件下,大量相互独立随机变量的均值经适当标准化后依分布收敛正态分布。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础,指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。

关于中心极限定理,有很多延伸版本,它们大都证明了某一种实验以某一种正态分布为极限,具体也没啥多大的用处,想学的自己维基吧qwq

推论

中心极限定理有一个非常重要的推论。

若有$N$个独立同分布的随机变量$x_1, x_2, \dots, x_n$

期望为$\mu$,方差为$\sigma$

那么设

$$Y_n = \frac{\sum_{i = 1}^n x_i - n\mu}{\sqrt{n \sigma^2}}$$

当$n$足够大时,我们认为$Y_n$服从标准正态分布

 

这玩意儿有什么用呢?

比如说我们要对某个$f(x)$进行积分,它可能会造成非常大的精度误差

转成标准正态分布可以有效的降低误差

具体做法是:首先对我们要积分的区间$(L, R)$进行转化,再对转化出来的两个$Y_n$对应的区间积分

具体示例

 

posted @ 2018-09-05 18:29 自为风月马前卒 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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