# 超几何分布与二项分布及其期望

## 超几何分布

### 定义

$N$个物品中有$M$个是不合格的，超几何分布描述了在这$N$个样本中选$n$个，其中有$k$个是不合格的概率

$$P(x = k) = \frac{C_M^k C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n}$$

### 期望

$E(x) = \frac{nM}{N}$

#### 证明(前方高能)：

1. $k * C_M^k = M * C_{M - 1}^{k - 1}$

2. $\sum_{k = 0}^m C_M^k C_{N - M}^{n - k} = C_N^n$

\begin{aligned}
E(x) &= \sum_{k = 0}^m k * \frac{C_M^k * C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n} \\
&=\frac{1}{C_N^n} \sum_{k = 0}^m k C_M^K * C_{N - M}^{n - k}\\
&=\frac{1}{C_N^n} \sum_{k = 1}^m M C_{M - 1}^{k - 1} C_{N - M}^{n - k}\\
&=\frac{M}{C_N^n} \sum_{k = 1}^m C_{M - 1}^{k - 1}C_{N - M}^{n - k}\\
&=\frac{M}{C_N^n} C_{N - 1}^{n - 1} \\
&=\frac{nM}{N}
\end{aligned}

### 方差

$$D(x) = {n(\frac{M}{N})(1-\frac{M}{N})(N-n) \over (N-1)}$$

## 二项分布

### 定义

$f(x;n,p) = P(x = k) C_n^k \ p^k \ (1-p)^{n- k}$

### 期望

$E(x) = np$

#### 证明

$n$次试验均为独立的，每次试验的成功率为$p$

$$P(X=k) = {n\choose k}p^kq^{n-k}, k = 0,1,2,..,n,q = 1-p\\$$

\begin{aligned}
EX &= \sum_{k=0}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\
&= \sum_{k=1}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\
&= \sum_{k=1}^n k {\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^kq^{n-k} \\
&= np\sum_{k=1}^n {\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)} \\
&= np\sum_{k=1}^n{n-1\choose k-1}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\\
&= np[{n-1\choose 0}p^0q^{n-1}+{n-1\choose 1}p^1q^{n-2}+...+{n-1\choose n-1}p^{n-1}q^0] \\
&= np
\end{aligned}

### 方差

$$D(x) = np(1 - p)$$

## 参考资料

posted @ 2018-09-05 16:44  自为风月马前卒  阅读(...)  评论(...编辑  收藏

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