树链剖分详解

前言

  • 树链剖分是什么?

树链剖分,说白了就是一种让你代码不得不强行增加1k的数据结构-dms

  个人理解:+1:joy:

  • 有什么用?

证明出题人非常毒瘤

可以非常友(bao)好(li)的解决一些树上问题:grimacing:

(友情提示:学树链剖分之前请先掌握线段树)

核心思想

树链剖分的思想比较神奇

它的思想是:把一棵树拆成若干个不相交的链,然后用一些数据结构去维护这些链

 

那么问题来了

  •  如何把树拆成链?

首先明确一些定义

重儿子:该节点的子树中,节点个数最多的子树的根节点(也就是和该节点相连的点),即为该节点的重儿子

重边:连接该节点与它的重儿子的边

重链:由一系列重边相连得到的链

轻链:由一系列非重边相连得到的链

这样就不难得到拆树的方法

对于每一个节点,找出它的重儿子,那么这棵树就自然而然的被拆成了许多重链与许多轻链

  •  如何对这些链进行维护?

首先,要对这些链进行维护,就要确保每个链上的节点都是连续的,

因此我们需要对整棵树进行重新编号,然后利用dfs序的思想,用线段树或树状数组等进行维护(具体用什么需要看题目要求,因为线段树的功能比树状数组强大,所以在这里我就不提供树状数组的写法了)

 注意在进行重新编号的时候先访问重链

这样可以保证重链内的节点编号连续

 

上面说的太抽象了,结合一张图来理解一下

对于一棵最基本的树

 

给他标记重儿子,

 蓝色为重儿子,红色为重边

然后对树进行重新编号

橙色表示的是该节点重新编号后的序号

不难看出重链内的节点编号是连续的

 

 

然后就可以在线段树上搞事情啦

像什么区间加区间求和什么的

另外有一个性质:以$i$为根的子树的树在线段树上的编号为$[i,i+子树节点数-1]$

 

接下来结合一道例题,加深一下对于代码的理解

 

代码

题目链接

树链剖分的裸题

首先来一坨定义

 

int deep[MAXN];//节点的深度 
int fa[MAXN];//节点的父亲 
int son[MAXN];//节点的重儿子 
int tot[MAXN];//节点子树的大小 

 

第一步

按照我们上面说的,我们首先要对整棵树dfs一遍,找出每个节点的重儿子

顺便处理出每个节点的深度,以及他们的父亲节点

 

int dfs1(int now, int f, int dep) {
    deep[now] = dep;
    fa[now] = f;
    tot[now] = 1;
    int maxson = -1;
    for (int i = head[now]; i != -1; i = edge[i].nxt) {
        if (edge[i].v == f) continue;
        tot[now] += dfs1(edge[i].v, now, dep + 1);
        if (tot[edge[i].v] > maxson) maxson = tot[edge[i].v], son[now] = edge[i].v;
    }
    return tot[now];
}

 

 

 

 

第二步

然后我们需要对整棵树进行重新编号

我把一开始的每个节点的权值存在了$b$数组内

 

void dfs2(int now, int topf) {
    idx[now] = ++cnt;
    a[cnt] = b[now];
    top[now] = topf;
    if (!son[now]) return ;
    dfs2(son[now], topf);
    for (int i = head[now]; i != -1; i = edge[i].nxt)
        if (!idx[edge[i].v])
            dfs2(edge[i].v, edge[i].v);
}

 

 

 

$idx$表示重新编号后该节点的编号是多少

另外,这里引入了一个$top$数组,

$top[i]$表示$i$号节点所在重链的头节点(最顶上的节点)

至于这个数组有啥用,后面再说

 

第三步

我们需要根据重新编完号的树,把这棵树的上每个点映射到线段树上,

 

struct Tree {
    int l, r, w, siz, f;
} T[MAXN];

 

void Build(int k, int ll, int rr) {
    T[k].l = ll; T[k].r = rr; T[k].siz = rr - ll + 1;
    if (ll == rr) {
        T[k].w = a[ll];
        return ;
    }
    int mid = (ll + rr) >> 1;
    Build(ls, ll, mid);
    Build(rs, mid + 1, rr);
    update(k);
}

 

 

 

另外线段树的基本操作,

这里就不详细解释了

直接放代码

 

void update(int k) { //更新
    T[k].w = (T[ls].w + T[rs].w + MOD) % MOD;
}

 

void IntervalAdd(int k, int ll, int rr, int val) { //区间加
    if (ll <= T[k].l && T[k].r <= rr) {
        T[k].w += T[k].siz * val;
        T[k].f += val;
        return ;
    }
    pushdown(k);
    int mid = (T[k].l + T[k].r) >> 1;
    if (ll <= mid)    IntervalAdd(ls, ll, rr, val);
    if (rr > mid)    IntervalAdd(rs, ll, rr, val);
    update(k);
}
int IntervalSum(int k, int ll, int rr) { //区间求和
    int ans = 0;
    if (ll <= T[k].l && T[k].r <= rr)
        return T[k].w;
    pushdown(k);
    int mid = (T[k].l + T[k].r) >> 1;
    if (ll <= mid) ans = (ans + IntervalSum(ls, ll, rr)) % MOD;
    if (rr > mid)  ans = (ans + IntervalSum(rs, ll, rr)) % MOD;
    return ans;
}
void pushdown(int k) { //下传标记
    if (!T[k].f) return ;
    T[ls].w = (T[ls].w + T[ls].siz * T[k].f) % MOD;
    T[rs].w = (T[rs].w + T[rs].siz * T[k].f) % MOD;
    T[ls].f = (T[ls].f + T[k].f) % MOD;
    T[rs].f = (T[rs].f + T[k].f) % MOD;
    T[k].f = 0;
}

 

第四步

我们考虑如何实现对于树上的操作

树链剖分的思想是:对于两个不在同一重链内的节点,让他们不断地跳,使得他们处于同一重链上

那么如何"跳”呢?

还记得我们在第二次$dfs$中记录的$top$数组么?

有一个显然的结论:$x$到$top[x]$中的节点在线段树上是连续的,

结合$deep$数组

假设两个节点为$x$,$y$

我们每次让$deep[top[x]]$与$deep[top[y]]$中大的(在下面的)往上跳(有点类似于树上倍增)

让x节点直接跳到$top[x]$,然后在线段树上更新

最后两个节点一定是处于同一条重链的,前面我们提到过重链上的节点都是连续的,直接在线段树上进行一次查询就好

 

void TreeSum(int x, int y) { //x与y路径上的和
    int ans = 0;
    while (top[x] != top[y]) {
        if (deep[top[x]] < deep[top[y]]) swap(x, y);
        ans = (ans + IntervalSum(1, idx[ top[x] ], idx[x])) % MOD;
        x = fa[ top[x] ];
    }
    if (deep[x] > deep[y]) swap(x, y);
    ans = (ans + IntervalSum(1, idx[x], idx[y])) % MOD;
    printf("%d\n", ans);
}
void TreeAdd(int x, int y, int val) { //对于x,y路径上的点加val的权值
    while (top[x] != top[y]) {
        if (deep[top[x]] < deep[top[y]]) swap(x, y);
        IntervalAdd(1, idx[ top[x] ], idx[x], val);
        x = fa[ top[x] ];
    }
    if (deep[x] > deep[y])    swap(x, y);
    IntervalAdd(1, idx[x], idx[y], val);
}

 

 

 

在树上查询的这一步可能有些抽象,我们结合一个例子来理解一下

还是上面那张图,假设我们要查询$3.6$这两个节点的之间的点权合,为了方便理解我们假设每个点的点权都是$1$

刚开始时

$top[3]=2,top[6]=1$

$deep[top[3]]=2,deep[top[6]]=1$

我们会让$3$向上跳,跳到$top[3]$的爸爸,也就是$1$号节点

这是$1$号节点和$6$号节点已经在同一条重链内,所以直接对线段树进行一次查询即可

对于子树的操作

这个就更简单了

因为一棵树的子树在线段树上是连续的

所以修改的时候直接这样

IntervalAdd(1,idx[x],idx[x]+tot[x]-1,z%MOD);

 

时间复杂度

(刚开始忘记写了,这一块是后来补上的)

性质1

如果边$\left( u,v\right)$,为轻边,那么$Size\left( v\right) \leq Size\left( u\right) /2$。

证明:显然:joy:,否则该边会成为重边

性质2

树中任意两个节点之间的路径中轻边的条数不会超过$\log _{2}n$,重路径的数目不会超过$\log _{2}n$

证明:不会:stuck_out_tongue_winking_eye:

 

有了上面两条性质,我们就可以来分析时间复杂度了

由于重路径的数量的上界为$\log _{2}n$,

线段树中查询/修改的复杂度为$\log _{2}n$

那么总的复杂度就是$\left( \log _{2}n\right) ^{2}$

例题

洛谷P3379 【模板】最近公共祖先(LCA)

树剖可以求LCA,没想到吧

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8097366.html

洛谷P2590 [ZJOI2008]树的统计

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7157156.html

这份代码是以前写的,可能比较丑,下面两份是刚刚写的

洛谷P3178 [HAOI2015]树上操作

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8094286.html

洛谷P3038 [USACO11DEC]牧草种植Grass Planting

有点意思

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8094429.html

posted @ 2017-12-24 07:31 自为风月马前卒 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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