Catalan卡特兰数入门

简介

卡特兰数是组合数学中的一种常见数列

它的前几项为:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670,129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452

公式

 

递归公式1

$f(n)=\sum_{i=0}^{n-1}f(i)*f(n-i-1)$

递归公式2

$f(n)=\frac{f(n-1)*(4*n-2)}{n+1}$

组合公式1

$f(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$

组合公式2,重要!重要!重要!

$f(n)=C_{2n}^n-C_{2*n}^{n-1}$

递推公式

$f[n]=\sum_{i=0}^{n-1}f[i]*f[n-i-1]$

一般在做题的时候,都是利用这个公式进行递推

 

证明

不会:stuck_out_tongue_closed_eyes:(众人:那你在这瞎bb啥。:triumph:

这个东西的证明我确实不会

不过我在这里教大家一种非常简单易懂的记忆方法,

 

记$f[n]$为卡特兰数的第$n$项

首先你要明白一件事情

一棵$n$个节点的二叉树的形态总数就是卡特兰数的第$n$项

对于一棵二叉树,递归的考虑

一棵只有一个节点的二叉树只有一种形态

对于不是一个节点的二叉树,按照他的左右孩子进行讨论

设它的左孩子有$i$个节点,那么它的形态数为$f[i]$

那么它的右孩子有$n-i-1$个节点,那么它的形态数为$f[n-i-1]$ 

又因为每一个节点都可以作为根节点

所以不难得到递推式

$f[n]=\sum_{i=0}^{n-1}f[i]*f[n-i-1]$

 

例题

都是裸题我就不细讲了

洛谷P1722 矩阵 II

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7725346.html

洛谷P1044 栈

洛谷P1976 鸡蛋饼

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7725386.html

总结

卡特兰数是一种常见的数列

需要每一位选手掌握它的递推式

卡特兰数一般不会单独出现,往往会出现在一些题目的部分分中,如2017某省省选(具体忘记了。)

在考场上,要证明一个东西是卡特兰数是非常困难的

自己手玩点小数据,只要前几项吻合,那一般就是卡特兰数啦

 

posted @ 2017-11-06 16:50 自为风月马前卒 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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