# 利用生成函数求斐波那契数列通项公式

## 前置知识

#### 斐波那契数列：

$f_i = f_{i-1} + f_{i - 2}$

$f_0 = f_1 = 1$

#### 常见的有:

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{\infty}$

$x$替换为$xk$

$\frac{1}{1-kx} = 1 + kx + k^2x^2 + k^3x^3 \dots + k^{\infty}x^{\infty}$

## 解法

$A = 1 + 1x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 \dots$

\begin{aligned} A = \ 1 + 1x + &2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 \dots \\ xA = \ \ \qquad x + &1x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5\dots \\ x^2A =\qquad \qquad &1x^2 + 1x^3 + 2x^4 + 3x^5 \dots \end{aligned}

$\frac{1}{1-x-x^2}$这玩意儿下半部分是个一元二次方程，我们可以配方

$1-x-x^2 = (1-\phi_1x)(1-\phi_2x)$

$\phi_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \phi_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$

(解的时候可以直接把后面的式子拆开，把这两个式子对应项联立组成方程组, $\phi_1 \phi_2$的取值是可以反过来的)

$(a+b - 1) - x(a\phi_2 + b\phi_1) = 0$

$\begin{cases} a-b-1 = 0\\ a\phi_2 + b\phi_1 = 0 \end{cases}$

$A = \frac{\phi_1}{\sqrt{5}} \frac{1}{1-\phi_1x} - \frac{\phi_2}{\sqrt{5}} \frac{1}{1-\phi_2x}$

$A_n = \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1})$

## 参考资料

posted @ 2019-03-11 17:30  自为风月马前卒  阅读(...)  评论(...编辑  收藏

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