悟道人生

渴望闲云野鹤的生活,面对自然,鸟鸣虫唱,星辰为伴,没有拘束,没有苦恼,有的只是神仙般的生活

  :: 首页 :: 博问 :: 闪存 :: 新随笔 :: 联系 :: :: 管理 ::
  68 随笔 :: 6 文章 :: 80 评论 :: 0 引用

  描述:关于辗转相除法的具体实现在这里就不具体说明了,本文要记录的是辗转相除法应用于求最大公约数的算法证明过程。

  假设:

  1. 求m和n的最大公约数。
  2. a,b分别是m除以n的商和余数,即m=na+b。
  3. gcd(m,n)表示m和n的最大公约数。

  求证:gcd(m,n)=gcd(n,b)

  证明:

    设c=gcd(m,n), d=gcd(n,b)

  1. ∵c为m和n的公约数

    ∴m能被c整除,n也能被c整除

    ∴na也能被c整除  参照推论一

    ∴m-na也能被c整除(即b能c整除)  参照推论二

    ∴c为n和b的公约数

    ∵d为n和b的最大公约数

    ∴c≤d

  2. 同理可证 d≤c

    ∵d为n和b的公约数

    ∴n能被d整除,b也能被d整除

    ∴na也能被d整除  参照推论一

    ∴na+b也能被d整除(即m能d整除)  参照推论二

    ∴d为m和n的公约数

    ∵c为m和n的最大公约数

    ∴d≤c

  综上所述:c=d,即gcd(m,n)=gcd(n,r)

 

        推论一若a能被b整除(a=tb),则如果k为正整数,则ka也能被b整除(ka=ktb)。

        推论二若a能被c整除,b也能被c整除,则(a±b)也能被c整除。

posted on 2010-08-25 14:51  凌风有约  阅读(3713)  评论(1编辑  收藏