P4099 [HEOI2013] SAO

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题目

题目描述

Welcome to SAO ( Strange and Abnormal Online)。这是一个 VR MMORPG， 含有 n 个关卡。但是，挑战不同关卡的顺序是一个很大的问题。

某款游戏有 \(n-1\) 个对于挑战关卡的限制，诸如第 \(i\) 个关卡必须在第 \(j\) 个关卡前挑战，或者完成了第 \(k\) 个关卡才能挑战第 \(l\) 个关卡。并且，如果不考虑限制的方向性，那么在这 \(n-1\) 个限制的情况下，任何两个关卡都存在某种程度的关联性。即，我们不能把所有关卡分成两个非空且不相交的子集，使得这两个子集之间没有任何限制。

思路

先考虑一颗外向树的拓扑序。考虑对于所有 \(n!\) 种方案，根节点必须在所有子节点前，则剩下 \(\frac{n!}{n}\) 种，然后即可分为子树上的问题，因此总方案为 \(\frac{n!}{\prod siz_i}\) 。也可以使用树形dp计算，即先不考虑根的顺序，在合并子树时考虑其在排列中占据的位置，在转移，即 \(f_u\times f_v\times \dbinom{siz_u}{siz_v}\to f_u\) ，最后再让 \(f_u/siz_u\to f_u\) 。（此处可以在组合数运算时处理根的顺序的影响，但针对于这一题，将贡献后置容易处理）。

考虑对于该题，可以使用容斥，将由儿子指向父亲的边容斥为父亲指向儿子的边和无限制。则原图就会变为许多棵外向树，对新图计数，在乘上容斥系数即可。由于转移与 \(u\) 所在的外向树大小相关，则需要在加上一维表示外向树大小。

具体的，令 \(f_{u,v}\) 表示在 \(u\) 的子树内， \(u\) 所在的连通块大小为 \(v\) 的方案书乘上容斥系数的和。

考虑转移，枚举其子树连通块的大小，按照树形dp的方式转移即可，即：

\[f_{u,i}\times f_{v,j}\times \binom{siz_u}{siz_v}\to f_{u,i+j} \]

对于方向边，直接转移时乘上 \(-1\) 的容斥系数；考虑断该边时则有：

\[f_{u,i}\times f_{v,j}\times \binom{siz_u}{siz_v}\to f_{u,i} \]

最后在每个节点转移完，需要考虑根节点在所有子节点前带来的贡献，即令 \(f_{u,i}/i\to f_{u,i}\) 。