奖励关[SCOI2008]

  题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2473

 

题目描述

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1 次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。

获取第 i 种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

输入输出格式

输入格式：

 

第一行为两个正整数k 和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种

宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各

宝物编号为1到n），以0结尾。

 

输出格式：

 

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

1 2
1 0
2 0

输出样例#1： 

1.500000

输入样例#2： 

6 6
12 2 3 4 5 0
15 5 0
-2 2 4 5 0
-11 2 5 0
5 0
1 2 4 5 0

输出样例#2： 

10.023470

说明

1 <= k <= 100, 1 <= n <= 15，分值为[-106,106]内的整数。

 

　题解：

　　状压+期望dp

　　考虑对于一个状态s，若玩具i能被选（即(prei&s) == prei），则dpnow,s += max(dpnow+1,s,dpnow+1,s|(1<<(i-1))+ci)*1/n；否则dpnow，s += dfsnow+1,s*1/n 。

　　转移方程不太好想，所以我用了记忆化搜索。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define LL long long
#define RI register int
using namespace std;
const int INF = 0x7ffffff ;
const int N = 15 + 2 ;
const int K = 100 + 10 ;

inline int read() {
    int k = 0 , f = 1 ; char c = getchar() ;
    for( ; !isdigit(c) ; c = getchar())
      if(c == '-') f = -1 ;
    for( ; isdigit(c) ; c = getchar())
      k = k*10 + c-'0' ;
    return k*f ;
}
int k, n ;  double dp[K][1<<N] ; int bit[N], c[N], pre[N] ;

double dfs(int now,int s) {
    if(dp[now][s] != -INF) return dp[now][s] ;
    dp[now][s] = 0 ;
    if(now == k) return dp[now][s] ;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
//        printf("pre[i]&s:%d pre[i]:%d\n",pre[i]&s,pre[i]) ;  // 之前下面一行没加括号时的输出调试
        if((pre[i]&s) == pre[i]) {  // 这个括号很关键...因为位运算的优先级还不如等号qwq 
            dp[now][s] += max(dfs(now+1,s),dfs(now+1,s|bit[i])+(double)c[i]) ;
        }
        else dp[now][s] += dfs(now+1,s) ;
    }
    dp[now][s] /= (double)n ;
    return dp[now][s] ;
}

int main() {
    k = read(), n = read() ;
    bit[1] = 1 ;
    for(int i=2;i<=(n+1);i++) bit[i] = bit[i-1]<<1 ;  // 记录每个宝物代表的二进制数
    memset(pre,0,sizeof(pre)) ;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        c[i] = read() ;
        while(1) {
            int x = read() ; if(!x) break ;
            pre[i] += bit[x]  ;
        }
    }
    for(int i=0;i<=k;i++) {
        for(int s=0;s<bit[n+1];s++) dp[i][s] = -INF ;
    }
    dfs(0,0) ; printf("%.6lf",dp[0][0]) ;
    return 0 ;
}