C- Product 1 Modulo N (数论)

题目地址：https://codeforces.com/contest/1514/problem/C

题目大意：

给定一个数字n，以及一个1到n-1的序列，求序列的一个最长子序列B，使得B中的所有元素的积对n取模结果为1，输出该序列长度以及该序列。

题目简述：

数论题，可以通过打表寻找规律，本博客还是想力求证明一下该规律。

在查找了大量资料之后，我找到了一个帖子：

https://math.stackexchange.com/questions/441667/the-product-of-integers-relatively-prime-to-n-congruent-to-pm-1-pmod-n

如果无法打开链接，也可以看我后面的思路讲解。

思路：

这个帖子证明的内容是：

模n的最小非负简化剩余系的乘积对n取模的结果为正负1。

下面我们来着手证明这一点。

当n<=2的时候是毫无疑问的，我们直接假定n>2。

首先，我们假设一个模n的最小非负简化剩余系为A，对于A中的每一个数x，我们求x在模n意义下的小于n的逆元y，由逆元的性质我们可以对x和y的性质进行分类讨论。

1、当x!=y时

此时x和y有着两两对应的关系，x和y都与n互质。并且都属于A。

这是由于xy≡1(mod n)的意义就是x、y和n互质，倘若x或者y不属于A，那么根据简化剩余系的定义，此时gcd(xy,n)!=1，因此是不成立的。

2、当x==y时

此时有x²≡1(mod n)，那么对于模n意义下的-x（即n-x）来说，其逆元也具有相同的性质即(n-x)²≡1(mod n)。

此时x和-x对n取模不同余。

我们可以假设x≡-x(mod n)，根据同余的性质我们可以得知n|2x，但是此时n>2并且(x,n)=1，显然这是不成立的。

因此-x²≡-1(mod n)即x*(n-x)≡-1(mod n)

证明了以上之后，我们将目光放回A上来,。

当n大于2的时候，φ(n)必定为一个偶数，因此A中的个数满足两两配对原则。

所以A中的所有元素的乘积对n取模结果为正负一。

该结论的证。

题目思路：

我们将目光放回题目上。

假设最后求得的序列B的元素乘积为k，那么易知k≡1(mod n)因此B只有可能是模n的最小非负简化剩余系A的子集。

当最小剩余系的积模n为1的时候，答案就是A。

当最小剩余系的积模n为-1(即在模n意义下的n-1)的时候，答案应当去除n-1。

这就是本题的详细证明。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath> 
#include<stack>
#include<list> 
#include<queue>
#define N 100086
#define ll long long
using namespace std;
const ll MOD= 1e9+7;
ll n,ans=1;
vector<ll>v;
inline void read(ll &p)
{
    p=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') p=p*10+(ch-'0'),ch=getchar();
}

inline int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}


int main()
{
    read(n);
    for(ll i=1;i<n;i++) if(gcd(i,n)==1) {v.push_back(i);ans=ans*i;ans%=n;}
    if(ans!=1) v.pop_back();
    printf("%lld\n",v.size());
    for(int i=0;i<v.size();i++) printf("%lld ",v[i]);
    return 0; 
}

拓展：

关于帖子最后一段话(remark)：

对于奇数n，自身平方对n取模的个数为num=2^l,l是对n进行质因数分解后不同的质因数个数。

一、当奇数n为质数的时候，num=2,此时我们可以证明威尔逊定理(当且仅当p为素数的时候，(p-1)!≡-1(mod p))，此时A中元素的乘积对n取模为-1。

二、当奇数n不为质数时，num可以被4整除，因此A中元素的乘积对n取模为1。

三、当n为偶数的时候，答案取决于质因数2的幂次。

这是由于对于x²≡1(mod 2^k)的解的个数b

(1)k==1时b==1

(2)k==2时b==2

(3)k>2时b==4

y由此我们可以具体得出何时取得-1，何时取得1。