E - Find The Multiple（巧用for循环搜索）

题目地址：https://vjudge.net/contest/422351#problem/E

题目描述：

Given a positive integer n, write a program to find out a nonzero multiple m of n whose decimal representation contains only the digits 0 and 1. You may assume that n is not greater than 200 and there is a corresponding m containing no more than 100 decimal digits.

Input

The input file may contain multiple test cases. Each line contains a value of n (1 <= n <= 200). A line containing a zero terminates the input.

Output

For each value of n in the input print a line containing the corresponding value of m. The decimal representation of m must not contain more than 100 digits. If there are multiple solutions for a given value of n, any one of them is acceptable.

题目大意：

给定一个数字n，输出一个由0和1组成的数字使其能够整除n。

Sample Input

2
6
19
0

Sample Output

10

100100100100100100

111111111111111111

一、题目简述

  这一题第一眼看到样例输出，显然是不是使用int就能够完全储存下来的，至于能否使用long long就把它做出来，我们需要进行考虑，并且这题更大的价值在于思考如果n的值变大的话，该如何进行搜索。

二、普通dfs

2-1、思路：

我们可以尝试使用打表的方式进行检验，最后发现在1 <= n <= 200的情况下，unsigned long long是可以储存下所有答案的，因此可以使用普通dfs过这道题。

2-2、代码：

inline void dfs(ull num,ull ans,ull k)
{
    if(flag) return ;
    if(num%ans==0) 
    {
        sum=num;
        flag=1;
        return ;
    }
    if(k==19) return;
    dfs(num*10,ans,k+1);
    dfs(num*10+1,ans,k+1);
}
int main()
{
    while(1)
    {
        read(n);
        if(0==n) break;
        flag=0;
        dfs(1,n,0);
        printf("%llu\n",sum);
     }
     return 0;
}

三、改进搜索

3-1、思路

上述方式只是基于本题的一种解。诚然，只要做出来的代码就是好代码，不过作为扩展，我们可以考虑一下如何将n的可解范围扩大。

首先，如果将某个数的二进制右移一位，在十进制的视角下就相当于在原数的基础上乘以10，在二进制下的右移一位等于原数字在十进制下乘以2。

例如：2的二进制是10,4的二进制是100。

既然如此，我们可以尝试枚举每一个数字的二进制，并将其转为只有1和0的十进制数字，这样一来，我们的搜索顺序就是从小到大的顺序，而不是像上种方法一样不断的乘以十。从某种意义上来说，这有点像是dp。

        for(i=1;;i++)
        {
            a[i]=a[i>>1]*10+i%2;
            if(a[i]%n==0) 
            {
                printf("%llu\n",a[i]);
                break;
            }
        }

3-2、利用取模性质扩大范围

可以看到，我们依然用了unsigned long long的大数字，并不能够实际优化多少，这个时候就要用到取模的性质了：

(a+b)%p=(a%p+b%p)%p、(a*b)%p=(a%p*b%p)%p、(a-b)%p=(a%p-b%p)%p

我来翻译一下这三个公式：“你尽管取模，最后余数有变化算我输.jpg”

如此我们就能够扩大范围了。

3-3代码：

int main()
{
    while(1)
    {
        read(n);
        if(0==n) break;
        for(i=1;;i++)
        {
            a[i]=(a[i>>1]*10+i%2)%n;
            if(a[i]==0) break;
        }
        int ans=i;
        int cnt=0;
        while(ans)
        {
            a[++cnt]=ans&1;
            ans>>=1;
        }
        
        for(cnt;cnt>=1;cnt--) printf("%d",a[cnt]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}