题解：P2662 牛场围栏

省流：同余最短路

本题是一道同余最短路算法的好题。接下来讲讲个人对这道题的理解。

首先，根据题意，我们知道，我们可以获得最多 \(m \times (m +1)\) 种木棍长度。我们设 \(t\) 为这个最大值，则木棍长度可表示为 \(a_1,a_2,…,a_t\)。设栅栏长度为 \(l\) ,若一个栅栏的长度是可表示的，则等同于 \(\exist k_1,k_2,…,k_t\in\Z^+,k_1a_1+k_2a_2+…+k_ta_t=l\)。

根据数据范围可以看到，\(t\) 最大可以达到 \(9000000\)，因此直接爆搜肯定不现实。但我们发现，单个木棍的长度最长只有 \(100\)，我们又发现，当其中 \(t-1\) 个系数确定后，所有可表示的栅栏长度对剩下那个未被确定的系数对应的木棍长度取余的结果相同。因此，我们就可以使用同余的思想，选取长度最小的木棍来作为系数不确定的木棍，设其长度为 \(a_1\)，同时设 \(d_i(i\in[0,a_1-1])\) 来表示当 \(l \bmod a_1=i\) 时，\(l\) 的最小值。此时，我们只需要建立从 $i(i\in[0,a_1-1]) $ 到 \((a_j+i)\bmod a_1(j\in[1,t])\)，长度为 \(a_j\) 的有向边，并跑一遍 Dijkstra 求最短路即可。

在求出最短路后，若 \(d_i(i\in[0,a_1-1])\) 未被更新，就说明不存在最大值，输出 \(-1\)。否则，求出 \(ans=max\set{d_i-a_1(i\in[0,a_1-1])}\)，输出即可。

上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int N=3005;
const int M=6000005;

int n,m;
int ans=-1,tot,maxn,minn=0x7ffffff;
int l[N],h[N];
int edge[M],ver[M],head[M],Next[M];
int d[M],vis[M];

struct node{
	int id,step;
	bool operator <(const node b)const{
		return step>b.step;
	}
};

priority_queue<node>q;

inline int read(){
	int f=1,k=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9'){
		k=k*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return f*k;
}

void add(int x,int y,int z){
	edge[++tot]=z; ver[tot]=y; Next[tot]=head[x]; head[x]=tot;
}

void dij(){
	d[0]=0;
	q.push(node{0,0});
	while(!q.empty()){
		int x=q.top().id; q.pop();
		if(vis[x]) continue;		
		vis[x]=true;
		for(int i=head[x];i;i=Next[i]){
			int y=ver[i];
			int z=edge[i];
			if(d[y]>d[x]+z){
				d[y]=d[x]+z;
				q.push(node{y,d[y]});
			}
		}
	}
}

signed main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) l[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=l[i]-m;j<=l[i];j++) h[j]=1;
		maxn=max(l[i],maxn);
		minn=min(l[i]-m,minn); //求出木棍长度、最小值和最大值
	}
	for(int i=0;i<minn;i++){
		for(int j=minn;j<=maxn;j++)
			if(h[j]==1) add(i,(i+j)%minn,j); //加边
		d[i]=(1ull<<63)-1;
	}
	dij();
	for(int i=0;i<minn;i++){
		if(d[i]==(1ull<<63)-1){
			cout<<-1<<endl;
			return 0;
		}
		ans=max(ans,d[i]-minn);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}
```1.