【题解】魔力环

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题目大意：给你\(m\)个黑球，\(n-m\)个白球，要求把它们串成一个环（旋转后相同算同构，翻转后相同不一定同构），使得环上没有连续的一段黑球，其长度超过\(k\)。求方案数。

一点也不具体解法：

按照常规思路，首先将环从一个点切开。可以观察到构成的序列可能会出现循环。设其循环节长度为\(p\)，则必有\(p|\gcd(m,n)\)。

设序列长度为\(k\)，则可以由\(dp\)算出长度为\(k\)，第一个为白球的合法序列数。设由\(i\)个白球，\(j\)个黑球组成的、第一个为白球的合法序列数为\(f_{i,j}\)，考虑相邻两个白球间隔为\(d\)，则有\(f_{i,j}=\sum_{d=0}^mf_{i-1,j-d}\)，可以用多项式快速幂优化。

然而，显然这样会算重复。考虑由\(i\)个白球，\(j\)个黑球组成的、最小循环节为\(i+j\)的，以白球开始的序列数为\(s_{i,j}\)，则\(s_{i,j}=f_{i,j}-\sum_{t|i,t|j}s_{\frac it,\frac jt}\)。可以对\(\forall d|n\&\&d|j\)，求出\(f_{\frac {n-m}d,\frac md}\)，然后暴力枚举因数求出\(s_{\frac {n-m}d,\frac md}\)。

接着可以求出由\(i\)个白球，\(j\)个黑球组成的、最小循环节为\(i+j\)的本质不同的环数，即\(\frac {s_{i,j}}i\)，累加得到答案。

大概\(O(n\log^2n)\)还是\(O(n\log n)\)？反正可松过。

据说有\(O(n\log\log n)\)的做法？

代码太丑不贴了……