支配树

概念定义

int dfn[N];//深搜树上的时间戳，定义dfn[u]>dfn[v]时，u>v
int semi[N];//半支配点，semi(u)=min({u|存在路径u->v,有路径上任意一点p的dfn[p]>dfn[v](不包括v,u)})
int idom[N];//idom(u)表示所有支配u结点中深度最大的
int Min[N];//Min(u)表示当前状态下u到其并查集的根链上semi最小的结点编号

semi(u)就是从semi(u)出发，绕开搜索树上semi(u)->u这条路，能够找到另一条路到达x的点，并且这个点深度尽可能小

性质1

\[semi(u)一定是u的祖先 \]

证明：

\[首先semi(u)在搜索树中深度一定要比u小，并且如果semi(u)和u在不同的子树中那么lca(semi(u),u)\\也一定满足是u的半支配点的要求，并且深度更小，所以semi(u)一定是u的祖先 \]

性质2

\[半支配点不一定是必经点，即半支配点是可以被绕开的：\\ 设有一条链semi(t)->semi(x)->t->x,那么只要从semi(t)绕开semi(x)到t再到x即可 \]

性质3

\[设所有(v,u)边中的v组成的集合为P，即P中的所有点都有边连向u\\ v<u,即v是u的搜索树边或前向边，可推出semi(u)\leq v,也就是路径v->u\\ v>u,此时这条边是后向边(横叉边)，对于所有满足t>x的v的祖先t，有semi(u)\leq semi(t)\\ 即路径semi(u)->semi(t)->t->v->u \]

性质4

\[idom(u)的深度不大于semi(u)。如果idom(u)深度大于semi(u)，那么拆掉idom(u)，还是可以从semi(u)绕到u \]

性质5

\[设u>v,则u->idom(v)或者idom(v)->idom(u),不可能出现idom(v)夹在idom(v)和v中间 \]

证明

\[如果idom(v)夹在idom(u)和u中间，可以由idom(u)->u->w绕开idom(v)\\ 为什么idom(u)->u必定有可以绕开idom(v)的路径？\\ 因为如果没有这么一条路径，说明idom(u)完全可以取idom(v) \]

性质6

\[设点集P是semi(u)到u路径上经过的点，不包含(u,semi(u)),t是点集P中semi最小的点，那么\\ 如果semi(u)=semi(t),那么idom(u)=semi(u),否则idom(u)=idom(t) \]

证明

\[对于第一种情况semi(u)=semi(t),我们可以想像在以semi(u)为根的子树里，所有边都封闭了\\即不再有更深度更小的点连向这棵子树，那么idom(u)显然就是semi(u)\\ \]

\[对于第二种情况semi(u)!=semi(t),我们首先可以证明此时semi(t)>semi(u),那么分两步证明\\ 首先证明idom(u)不会低于idom(t),如果idom(u)低于idom(t)，那么我们可以从路径\\ idom(t)->t->u直接跳过idom(u),至于为什么idom(t)->t一定有路径可以跳过idom(u)\\ 因为idom(t)->t路径上如果删了一个点后，idom(t)就到不了t,那么p应该是t的支配点，不然semi(t)深度不会小于semi(u)\\ 再证明idom(u)不会高于idom(t),如果高于，idom(t)就不是必经点，但是idom(t)->t路径上有semi(u)\\ 跳过了这段就必须跳过semi(u)，就没有别的路径可以到达u，所以idom(t)是u的必经点 \]

算法流程（可参考tarjan离线求lca的并查集思想）

\[第一步：求出每个节点的深搜时间戳数组dfn[] \]

\[第二步：倒序遍历dfn数组，对于每个节点y，先算它的semi\\ 根据性质3，semi[y]可以根据所有连向y的点x求出，如果(x,y)是前向边,那么直接用x的dfn更新semi[y]\\ 反之(x,y)是后向边，我们需要处理x->dfn不小于y的x的祖先链上semi的最小值，以此更新semi[y]\\ 维护x到其祖先链上的semi的最小值，用带权并查集来快速维护 \]

\[第三步：求完y的semi后将y的信息更新至并查集中\\ 然后将y的id编号-1得到新的y,枚举以y为semi的节点x,求出idom[x]\\ 根据性质6，semi[x]->x(不包含端点)这一段semi最小的节点是t\\ 如果semi[t]=semi[x]=y,那么idom[x]=semi[x]=y;反之idom[x]=idom[t] \]

\[第四步，正dfn序刷一遍，求idom[x]的最后结果 \]

模板hdu4694

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 200010;
struct Node{int to,next;};
int n,m,dfn[N],clo,rev[N],f[N],semi[N],idom[N],Ans[N];

struct Graph{
  Node E[N];int head[N],tot;
  inline void clear(){
    tot=0;
    for(int i=0;i<=n;++i)head[i]=0;
  }
  inline void link(int u,int v){
    E[++tot]=(Node){v,head[u]};head[u]=tot;
  }
}pre,nxt,dom;
struct uset{
  int fa[N],Mi[N];
  inline void init(){
    for(int i=1;i<=n;++i)
      fa[i]=Mi[i]=semi[i]=i;
  }
  inline int find(int x){
    if(fa[x]==x)return x;
    int fx=fa[x],y=find(fa[x]);
    if(dfn[semi[Mi[fx]]]<dfn[semi[Mi[x]]])Mi[x]=Mi[fx];
    return fa[x]=y;
  }
}uset;
inline void tarjan(int x){
  dfn[x]=++clo;rev[clo]=x;
  for(int e=nxt.head[x];e;e=nxt.E[e].next){
    if(!dfn[nxt.E[e].to])
      f[nxt.E[e].to]=x,tarjan(nxt.E[e].to);
  }
}
inline void dfs(int x,int sum){
  Ans[x]=sum+x;
  for(int e=dom.head[x];e;e=dom.E[e].next)
    dfs(dom.E[e].to,sum+x);
}
inline void calc(){
  for(int i=n;i>=2;--i){
    int y=rev[i],tmp=n;
    for(int e=pre.head[y];e;e=pre.E[e].next){//枚举所有x->y，以此求出semi[y]
      int x=pre.E[e].to;
      if(!dfn[x])continue;
      if(dfn[x]<dfn[y])//前向边可以直接更新，即semi[y]<=x
        tmp=min(tmp,dfn[x]);
      else //后向边，找到x到其当前并查集祖先的F[x],求F[x]->x链上的最小semi
        uset.find(x),tmp=min(tmp,dfn[semi[uset.Mi[x]]]);
    }
    semi[y]=rev[tmp];//tmp存的是semi[y]的dfn
    uset.fa[y]=f[y]; //把y并入其在搜索树中的父亲中，再并查集里的元素就是已经合并好了
    
    dom.link(semi[y],y);//加边

    y=rev[i-1];//y再向上走一步，因为求idom时的点集P不可以包含y本身，所以y因该是y的父亲
    for(int e=dom.head[y];e;e=dom.E[e].next){//枚举所有以y为semi的点x，求出idom[x]
        int x=dom.E[e].to;
        uset.find(x);//对x路径压缩一下，此时x必定是y的子孙，且y->x链上的最小值可以直接用并查集求出来
        if(semi[uset.Mi[x]]==y)//semi[t]=semi[x]
            idom[x]=y;//itom[x]=semi[x]
        else idom[x]=uset.Mi[x];//itom[x]=itom[t]
    }
  }
  for(int i=2;i<=n;++i){//最后再从头到尾刷一次求出itom[x]=itom[t]这种情况了
    int x=rev[i];
    if(idom[x]!=semi[x])//判一下再求
      idom[x]=idom[idom[x]];
  }
  dom.clear();//建立支配树
  for(int i=1;i<n;++i)
    dom.link(idom[i],i);
  dfs(n,0);
}
int main(){
  while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
    for(int i=1;i<=m;++i){
      int u=gi(),v=gi();
      nxt.link(u,v);
      pre.link(v,u);
    }
    tarjan(n);
    uset.init();
    calc();
    pre.clear();nxt.clear();dom.clear();
    for(int i=1;i<=n;++i)
      dfn[i]=rev[i]=semi[i]=idom[i]=f[i]=0;
    n=0;m=0;clo=0;
  }
  fclose(stdin);fclose(stdout);
  return 0;
}