奇怪的道路

 

DeepinC的题解

考场AC nb%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2019/4/27
Day1  T3 奇怪的道路


step1：复杂度分析

1<= n <= 30, 0 <= m <= 30, 1 <= K <= 8.
按照习惯，正解复杂度一般在1e6-1e8级别
而且往往复杂度关系最大的就是最小的那个数
对，抓住那个k=8打
所以说先蒙个复杂度
O（mnk）?太小
O（mn*2^k）这个差不多
所以试试状压？


step2：算法

算法一：
其实看到这么小的数据范围应该也能 <感受一下> 状压的气息吧
[任何一个城市都与恰好偶数条道路相连（0也被认为是偶数）]
奇数偶数？可以用0,1，两种状态表示，这很状压，这非常状压
设dp[n][m][state]表示已经考虑了n个城市，m条道路，所有城市状态为state时的情况数
如果你把n和p连起来，n-k<=p<n      (pow[i]表示2的i次方)
则
    dp[n][m][state]+=dp[n][m-1][state^pow[n]^pow[p]];
异或超棒的，当你连上一条路时，两个端点已经连上的路原来是奇数的就变成偶数，偶数就变成奇数
题库里内存128M，考试时内存256M，state太占内存，大概能处理n=15，一半分

算法二：（优化）
我说过那个最小的k是突破口吧？但是用上了吗？
根据复杂度分析，如果把那个2^n替换成2^k就可以了
那么就要把state的位数变成k，仔细一看，刚好合适
那么state的含义稍微一变：最后k座城市的状态
<交线牛逼法>很好啊，因为第i座城市的状态转移只与最后k座城市有关
<NOI2019 Day2 T1 mentor:中国好码农>ing...
码出来的时候，忽然发现一个问题，我没考虑当前城市的情况，所以state的大小其实是2^(k+1)
<王鹤松式>没关系没关系，复杂度更接近上限了，正确的可能性更高了（玄学信仰）
状态转移的式子稍微一改
    dp[n][m][state]+=dp[n][m-1][state^1^pow[n-p]];
而且因为state的表示范围在变化，所以对于每个n，dp值都需要特殊转移
    dp[n][m][（state<<1）&(pow[k+1]-1)]+=dp[n-1][m][state];
dp[n][m][0]即为答案

算法三：（无关紧要的优化）
时间小优化：
    我是个听学长话的乖孩子。。。。。。
    他说过，取模超级慢的是嘛？
    怎么避免取模呢？减法优于取模，判断优于计算
    inline long long mod(long long k){return k>=1000000007?k-1000000007:k;}
    因为代码里只存在加法，所以计算结果不会超过1000000007*2，减去一个1000000007就行了
空间大优化：
    为什么只有256M啊？NOI还有5G呢
    可见，dp式子只从n-1转移到n
    滚动数组！棒！
    式子再稍微一改
        dp[i&1][j][s]=mod(dp[i&1][j][s]+dp[i&1][j-1][s^1^pow[i-p]])；
        dp[(i&1)^1][j][s<<1]=dp[i&1][j]；
    滚起来别忘了清空数组
        dp[i&1][j][s]=0;

编号     题目     状态     分数     总时间     内存     代码 / 答案文件     提交者     提交时间
#57153     
#C. 奇怪的道路
    Accepted     100     67 ms     616 KiB     C++11 / 754 B     DeepinC (吴迪)     2019-04-27 21:46:34

20个测试点，时间还不错
k=8的话目测可以处理m=n=300；

代码