最小割树小记

最小割树小记

定义

首先对于一个边带权的无向图\(G\) ，定义无序点对\((u,v)\) 的割为一个边集满足在\(G\) 上删去这些边后\((u,v)\) 之间不连通，而最小割定义为满足这个边集中边的边权和的最小时的边集。

在一个\(n\) 个点的图\(G\) 上，本质不同的最小割只有至多\(n-1\) 种，因此一定可以形成一棵树。

图\(G\) 的最小割树定义为对于树上任一边\((u,v)\) ，满足\((u,v)\) 的权值为原图上\((u,v)\) 的最小割权值且割去这条边后产生的两个集合恰好和原图\((u,v)\) 的最小割将原图分为的两个集合相同。

构造

首先随意地选择两个点\((u,v)\) ，求出其最小割\(C\) ，在\(u,v\) 之间连接边权为\(C\) 的无向边。

而后找出\(u,v\) 分属的两个点集，对于这两个点集递归地操作即可，直至只剩下一个点。

void build(int*p,int num)
{
    if(num<=1)return;
    int q1[N],q2[N],p1=0,p2=0;
    int val=dinic(p[1],p[2]);
    add(p[1],p[2],val);
    for(int i=1;i<=num;++i)
    {
        if(dis[p[i]]!=-1) q1[++p1]=p[i];
        else q2[++p2]=p[i];
    }
    for(int i=1;i<=p1;++i)p[i]=q1[i];
    for(int i=p1+1;i<=p1+p2;++i)p[i]=q2[i-p1];
    build(p,p1),build(p+p1,p2);
}

性质

原图上\((u,v)\) 之间的最小割权值就是在最小割树\((u,v)\) 的简单路径上边权的最小值。

确实就这个性质。

题目的话都是比较板的题目，没有什么变化，因此也不太可能考到。

不同的最小割

最小割