[学习笔记]0-1背包问题
0-1背包问题：
给定n个物品和一个背包。其中物品i的重量为wi，价值为vi，背包容量为c。
问该如何选择放入背包的物品，使得背包中物品价值总和最大？
分析：
问题等价与求集合{x1,x2,...,xn}，其中xi ∈{0，1}。使得：
Σxiwi <= c && maxΣvixi
因此可想到递归式：
if (w1<=j):
max(1,j) = v1
else:
max(1,j) = 0
if (wi<=j):
max(i,j) = max{max(i-1,j), max(i-1,j-wi)+vi}
else:
max(i,j) = max(i-1,j)
(其中max(i，j)表示背包容量为j，可选物品为1，2，...，i)
然后就有以下算法：
1 #define MAX(a,b) a>b?a:b 2 3 int backpack(int w[], int v[], int n, int c) 4 { 5 int max[n+1][c+1]; 6 for (int j = 0; j <= c; j++) 7 { 8 if (j<w[1]) max[1][j] = 0; 9 else max[1][j] = w[1]; 10 } 11 for (int i = 2; i <= n; i++) 12 { 13 for (int j = 0; j <= c; j++) 14 { 15 if (j < w[i]) max[i][j] = max[i-1][j]; 16 else max[i][j] = MAX(max[i-1][j], max[i-1][j-w[i]]+v[i]); 17 } 18 } 19 return max[n][c]; 20 }
但是上述方法只是返回了最大价值，要想构造最优解，可以将backpack函数改为返回max数组，然后利用下述函数构造：
1 int* OptimalSolution(int **m, int w[], int n, int c) 2 { 3 int x[n+1]; 4 for (int i = n; i > 1; i--) 5 { 6 if (max[i][c]==max[i-1][c]) x[i] = 0; 7 else 8 { 9 x[i] = 1; 10 c-=w[i]; 11 } 12 } 13 x[1] = max[1][c]?1:0; 14 return x; 15 }
优化：
（书中有一个优化的算法，暂时不想看。。过两天看看。）
