算法第五章上机实践报告
一、题目描述
7-2 最小重量机器设计问题 (25 分)
设某一机器由n个部件组成，每一种部件都可以从m个不同的供应商处购得。设wij是从供应商j 处购得的部件i的重量，cij是相应的价格。 试设计一个算法，给出总价格不超过d的最小重量机器设计。
输入格式:
第一行有3 个正整数n ，m和d， 0<n<30, 0<m<30, 接下来的2n 行，每行n个数。前n行是c，后n行是w。
输出格式:
输出计算出的最小重量，以及每个部件的供应商
输入样例:
3 3 4 1 2 3 3 2 1 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 2 2
输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：
4 1 3 1
二、算法分析
1. 请用回溯法的方法分析“最小重量机器设计问题”
每个零件有m个供应商可以选择，这样有m^n种可选方案，其中就有问题想要的最优解。然后把解空间组织成一棵m叉树，然后以深度优先搜索的方式纵深向下搜索，当不满足约束函数（即约束条件d）或者是限界函数（即搜索过的可行方案中最小的质量总和）时回溯，寻求尝试另一种方案，然后继续纵深向下搜索。当向下搜索到叶子节点时，不再向下搜索，转去更新最优值。
1.1说明“最小重量机器设计问题"的解空间
解空间是穷举所有可能解的空间，{(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3)}
1.2 说明“最小重量机器设计问题"的解空间树
解空间树是一棵m叉树，从根节点出发后，每一层分别表示一个部件的不同供应商，往下延伸共n层。
1.3 在遍历解空间树的过程中，每个结点的状态值是什么
每个结点有两个状态值，分别是当前的总价格、当前的总重量。
三、问题求解代码
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,d;//n个组件 m个供应商 总价格不超过d
int c[999][999],w[999][999];//c[i][j],w[i][j] 各表示从供应商j处购得部件i的价格/重量
int cw=0,cp=0;//记录当前最小的重量和价值
int bestw=999,bestp=999;//最小重量
int x[999],bestx[999];//保存当前重量下每个部件供应商的号码
void backtrack(int i)
{
if(i>n)
{
if(cp<=d&&cw<bestw)
{ //条件更优时，更新数据
bestw=cw;
bestp=cp;
for(int j=1; j<=n; j++)
{
bestx[j]=x[j];
}
}
}
else
{
for(int j=1; j<=m; j++)
{
x[i]=j;//记录下当前部件是哪一个供应商
cw=cw+w[i][j];
cp=cp+c[i][j];
if(cp<=d&&cw<bestw)
{//剪枝,如果当前供应商的部件可以满足条件 直接进入下一个部件的判断
backtrack(i+1);
}
//回溯过程
cw=cw-w[i][j];
cp=cp-c[i][j];
}
}
}
int main()
{
cin>>n>>m>>d;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=m; j++)
{
cin>>c[i][j];
}
}
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=m; j++)
{
cin>>w[i][j];
}
}
backtrack(1);
cout<<bestw<<endl;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
cout<<bestx[i]<<" ";
}
return 0;
}
四、心得体会
对回溯算法的理解
1.回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
2.回溯法的基本步骤： (1)针对所给问题，定义问题的解空间； (2)确定易于搜索的解空间结构； (3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
3.常用剪枝函数： (1)用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树； (2) 用限界函数剪去得不到最优解的子树。
4.通解模板如下：
void backtrack (int t) //回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法
{
if (t>n) output(x); //算法已搜索到一个叶结点，输出该结果
else
for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) //f(n,t),g(n,t)分别表示扩展结点的子树的起始编号和终止编号。尝试这些选择
{
x[t]=h(i); //H(i)表示第i个可选值
if (constraint(t)&&bound(t)) //分别表示约束函数和限界函数
backtrack(t+1);
}
}
5. 在用回溯法求解问题时，常常遇到两种典型的解空间树：
①子集树：当所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树成为子集树。例：0－1背包问题。
遍历子集树函数：
void Backtrack(int t)
{//以深度优先的方式遍历第t层中的某棵子树
if(t>n) { Output(x); return; }
if (……)
{ x[t]=1; Backtrack(t+1); }
if (……)
{ x[t]=0; Backtrack(t+1); }
}
②排列树：当所给问题是确定n个元素的满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为排列树。例：旅行售货员问题。
遍历排列树函数：
void Swap(int *p,int *q)
{ int temp;
temp=*p;*p=*q;*q=temp; }
void Backtrack(int t)
{ //遍历第t层结点为根的某棵子树
int i;
if(t>n) { Output(x); return; }
for(i=t;i<=n;i++)
//x[1]~x[t-1]确定，获得x[t]~x[n]的不同组合
if(……)
{ Swap(&x[t],&x[i]);
Backtrack(t+1);
Swap(&x[t],&x[i]); }
}
