斐波那契数列的三种时间复杂度

/*前边两个为一种做法*/

/*后边有另外的做法（差分方程以及利用矩阵去做）*/

 

 

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第一种做法

这是2018王道数据结构考研复习指导的第一章思维拓展的题目。

关于斐波那契数列的简介：

　　斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

 

具体题目：

求解斐波那契数列的F(n)有两种常用算法：递归算法和非递归算法。试分析两种算法的时间复杂度。

1.递归算法

#include<iostream>
using namespace std;

long Fibonacci(int n) {
    if (n == 0)
        return 0;
    else if (n == 1)
        return 1;
    else
        return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n-2);
}

int main() {
    cout << "Enter an integer number:" << endl;
    int N;
    cin >> N;
    cout << Fibonacci(N) << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

时间复杂度分析：

　　求解F(n),必须先计算F(n-1)和F(n-2),计算F(n-1)和F(n-2)，又必须先计算F(n-3)和F(n-4)。。。。。。以此类推，直至必须先计算F(1)和F(0),然后逆推得到F(n-1)和F(n-2)的结果，从而得到F(n)要计算很多重复的值，在时间上造成了很大的浪费，算法的时间复杂度随着N的增大呈现指数增长，时间的复杂度为O(2^n)，即2的n次方

2.非递归算法

#include<iostream>
using namespace std;

long Fibonacci(int n) {
    if (n <= 2)
        return 1;
    else {
        long num1 = 1;
        long num2 = 1;
        for (int i = 2;i < n - 1;i++) {
            num2 = num1 + num2;
            num1 = num2 - num1;
        }
        return num1 + num2;
    }
}

int main() {
    cout << "Enter an integer number:" << endl;
    int N;
    cin >> N;
    cout << Fibonacci(N) << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

时间复杂度分析：

　　　从n(>2)开始计算，用F(n-1)和F(n-2)两个数相加求出结果，这样就避免了大量的重复计算，它的效率比递归算法快得多，算法的时间复杂度与n成正比，即算法的时间复杂度为O(n).

 

 

 

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第二种做法。

应用网址：

https://blog.csdn.net/beautyofmath/article/details/48184331

斐波那契数列: f(n)=f(n-1)+f(n-2); n>=2
f(0)=0; f(1)=1;
即有名的兔子繁衍问题。
斐波那契数列共有三种解法，因而写这篇文章总结一下。
1. 递归求解
递归求解比较简单，是大家常见的一种解法。

int fibonacci(int n)
{
    cout<<"calculating "<<n<<endl;
    if (n<=0) {
        return  0;
    }
    if (n==1) {
        return 1;
    }
    return fb(n-1)+fb(n-2);
}

关于这种解法，不再赘述，下面主要说下时间复杂度分析。
设f(n)为参数为n时的时间复杂度，很明显：f(n)=f(n-1)+f(n-2)
这就转化为了数学上的二阶常系数差分方程，并且为其次方程。
即转化为了求f(n)的值，f(n)=f(n-1)+f(n-2)且f(0)=0; f(1)=1;
特征方程为：x^2-x-1=0
得 x=(1±√5)/2
因而f(n)的通解为:

由f(0)=0; f(1)=1可解得c_1，c_2
最终可得，时间复杂度为：

第一种解法比较简单，但是多个元素重复计算，因而时间复杂度较高，为了避免重复计算，可进行循环计算减少时间复杂度

int Fibonacci(int n) {
if (n<=0) {
return 0;
}
if (n==1) {
return 1;
}
int min=0;
int max=1;
int i=2;
int result=0;
while (i<=n) {
result=min+max;
min=max;
max=result;
++i;
}
return result;
}

 第二种算法时间复杂度为O(n) 

3. 还有一种时间复杂度更低的算法。 

根据上面的递归公式，我们可以得到 

 

因而计算f(n)就简化为了计算矩阵的(n-2)次方，而计算矩阵的(n-2)次方，我们又可以进行分解，即计算矩阵(n-2)/2次方的平方，逐步分解下去，由于折半计算矩阵次方，因而时间复杂度为O(log n) 
具体代码实现如下：

 

//
//  main.cpp
//  fibonaccimatrix
//
//  Created by shunagao on 15/8/31.
//  Copyright © 2015年 shunagao. All rights reserved.
//

#include <iostream>
using namespace std;

class Matrix
{
public:
    int n;
    int **m;
    Matrix(int num)
    {
        m=new int*[num];
        for (int i=0; i<num; i++) {
            m[i]=new int[num];
        }
        n=num;
        clear();
    }
    void clear()
    {
        for (int i=0; i<n; ++i) {
            for (int j=0; j<n; ++j) {
                m[i][j]=0;
            }
        }
    }
    void unit()
    {
        clear();
        for (int i=0; i<n; ++i) {
            m[i][i]=1;
        }
    }
    Matrix operator=(const Matrix mtx)
    {
        Matrix(mtx.n);
        for (int i=0; i<mtx.n; ++i) {
            for (int j=0; j<mtx.n; ++j) {
                m[i][j]=mtx.m[i][j];
            }
        }
        return *this;
    }
    Matrix operator*(const Matrix &mtx)
    {
        Matrix result(mtx.n);
        result.clear();
        for (int i=0; i<mtx.n; ++i) {
            for (int j=0; j<mtx.n; ++j) {
                for (int k=0; k<mtx.n; ++k) {
                    result.m[i][j]+=m[i][k]*mtx.m[k][j];
                }   
            }
        }
        return result;
    }
};
int main(int argc, const char * argv[]) {
    unsigned int num=2;
    Matrix first(num);
    first.m[0][0]=1;
    first.m[0][1]=1;
    first.m[1][0]=1;
    first.m[1][1]=0;
    int t;
    cin>>t;
    Matrix result(num);
    result.unit();
    int n=t-2;
    while (n) {
        if (n%2) {
            result=result*first;
            }
        first=first*first;
        n=n/2;
    }
    cout<<(result.m[0][0]+result.m[0][1])<<endl;
    return 0;
}