P2475 [SCOI2008] 斜堆

洛谷

提供一种在模拟赛上自己观察出来的方法。

由于树是递归定义的，并且每次加入一个值在这个子树中，左右儿子会调换，再将这个点加入左子树。因此我们每次加入一个节点，必须保证这个点未加入的左右子树的节点数量相等或者左子树未加入节点比右子树多一个。

这样的状态我们才可以做到选择完左右的节点。

以下我们称未加入的左右子树的节点数量相等或者左子树未加入节点比右子树多一个的状态称为：平衡。

因此最先想到一个思路，递归。我们先将子树平衡，如果平衡了，就选择根节点。

但是这样还是存在问题，即使平衡了，如果前面我为了达到平衡状态，选择的都是右节点，如果直接加上根，此时再先加入左节点再加入右节点，会导致左右位置与预期的相反，产生问题。

那么这种情况怎么解决？我们只需要再选择一个右子树的节点，然后再选择根，先加入左节点，再加入右节点，知道加入完，这样最后一个加入的必定是左节点。

对于为了平衡选择了左节点的情况也是同理，如果先加入根，再加入左节点，会导致左节点没有连接到左子树，因此需要先加入一个左节点，再加入根，最后先右再左加入节点即可。

虽然题目要求字典序最小，但是分析下来这就是唯一解。

最后时间复杂度在树的形态为链时最大，时间复杂度 \(O(n^2)\)，可以通过此题。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,ls[55],rs[55],siz[55],f[55],st[55],top;
bool vis[55],d[55];
void dfs(int p){
	if(!p)return;
	siz[p]=1;
	dfs(ls[p]),dfs(rs[p]);
	siz[p]+=siz[ls[p]]+siz[rs[p]];
}
void solve(int p){
	if(siz[ls[p]]!=siz[rs[p]]&&siz[ls[p]]!=siz[rs[p]]+1){
		if(siz[ls[p]]>siz[rs[p]])f[p]=1,solve(ls[p]),siz[p]--;
		else f[p]=2,solve(rs[p]),siz[p]--;
	}
	else if(vis[p]){
		if(d[p]==1)solve(rs[p]),siz[p]--,d[p]^=1;
		else solve(ls[p]),siz[p]--,d[p]^=1;
		return;
	}
	else if(f[p]==0){
		vis[p]=1;
		siz[p]--;
		st[++top]=p;
		if(siz[ls[p]]==siz[rs[p]])d[p]=1;
		else d[p]=0;
	}
	else if(f[p]==1){
		solve(ls[p]),siz[p]--;
		d[p]=1;
		f[p]=0;
	}
	else {
		solve(rs[p]),siz[p]--;
		d[p]=0;
		f[p]=0;
	}
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1,x;i<=n;i++){
		cin>>x;
		x++;
		if(x>=100)rs[x-100]=i+1;
		else ls[x]=i+1;
	}
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=n+1;i++)solve(1);
	for(int i=1;i<=top;i++)cout<<st[i]-1<<' ';
	return 0;
}
/*
1. 调平左右
让左右相等或者左多一 
2. 开始删除
若左右均未选择，则选根
若左边已经选择，先选左，再根，再右左
若右边已经选择，先选右，再根，再左右 
*/