二进制警报器

我们希望在线解决如下形式的问题：

给定长度为 \(n\) 的数组和 \(q\) 次操作，每次操作如下：

• 给数组一个位置加 \(v\)。
• 给定不超过 \(k\) 个位置，要求在数组这些位置的总和超过 \(v\) 的时候输出该操作的编号。

众所周知，折半警报器能在均摊做到 \(\mathcal O(1) - \mathcal O(k^2\log q\log V)\)（\(x - y\) 表示操作一复杂度为 \(x\)，操作二复杂度为 \(y\)）。但我发现了一个 \(\mathcal O(1) - \mathcal O(k\log V)\) 的算法，我们就称其为 "二进制警报器" 吧。

对于一个二操作，设其对应位置为 \(pos_1,...,pos_d\)。对于该操作，维护一个阈值 \(h\)，只要 \(a_{pos_i}\) 的值经过（\(a_x \to a_x+w\) 的时候，我们认为它经过了 \((a_x,a_x+w]\)）\(2^h\) 的倍数时 "报警"。如果目前的 \(h\) 能让所有 \(a_{pos_i}\) 在都不报警的前提下总和超过 \(v\)，那么将 \(h\) 降低 \(1\)。

对于每个 \(h=h_0\)，报警次数总和是不超过 \(\mathcal O(k)\) 的：\(h\) 降到 \(h_0\) 时，\(v - \sum_{i=1}^{k}a_{pos_i}\) 应是 \(\mathcal O(k2^{h_0})\) 的；而一个元素报警两次时，它必然增加了至少 \(2^{h_0}\)。

对每个 \((\text{位置},h)\) 开个 vector 维护警报器并利用二进制优化修改时找报警器的复杂度，复杂度是 \(\mathcal O(1) - \mathcal O(k\log V)\)。

这个结构能对我目前看到的所有减半警报器题目做出优化：

• 2019-2020 ICPC Asia Hong Kong Regional Contest I：直接的应用，能做到 \(\mathcal O(n+m\log V)\)。
• THUPC 2021 鬼街：直接的应用，能做到 \(\mathcal O(n+q\omega(n)\log V)\)。
• 300iq Contest 2 F：把 vector 改成链表，结合启发式合并可以做到 \(\mathcal O((n+m)\log V)\)。
• 2022 CCPC Mianyang Onsite B：这题要难优化一些。考虑直接建线段树，然后将每个人的需求拆到线段树的节点上。这样能做到修改 \(\mathcal O(\log n)\)，但是查询要 \(\mathcal O(\log^2 n)\)。考虑平衡复杂度，把线段树的二叉改成 \(\sqrt{\log n}\) 叉，并对线段树的每个儿子区间都维护其总和。这样我们就能将每个人的需求拆到 \(\mathcal O(\frac{\log n}{\log\log n})\) 个点上了，而一次修改只会修改 \(\mathcal O(\frac{\log^2 n}{\log\log n})\) 个节点。总复杂度 \(\mathcal O(\frac{n\log^2 n}{\log\log n})\)。
• EZEC Round 12 F：和上一题类似，建立多叉树平衡复杂度，\(\mathcal O(\frac{m\log n\log V}{\log\log V})\)。