欧拉数 学习笔记（鸽了！）

这篇文章鸽了！

• 符号 : \(\left\langle\begin{matrix}n \\ k\end{matrix}\right\rangle\)
• 定义 : 有 \(k\) 个升高的相邻位置, 长度为 \(n\) 的排列个数。
  对于一个排列 \(p\), 有 \(k\) 个升高的相邻位置：\(\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} [p_i > p_{i + 1}] = k\) 。

update on 2022.6.21

最近遇到了欧拉数的 tea，就再更一下吧。

考虑把排列换成 \([0,1]\) 的随机实数，然后算满足 \(\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} [p_i > p_{i + 1}] = k\)。

我们不妨记录 \(f_i = p_{i} - p_{i-1} \color{red} {\bmod 1}\)。其中 \(p_0 = 0\)，\(\bmod 1\) 表示如果 \(p_{i+1} - p_{i} < 0\)，那么值为 \(1+p_{i+1}-p_i\)。

然后，我们，观察到，\(k = \lfloor \sum f_i \rfloor\)，我们不妨考虑计算 \(\sum f_i \le k+1\) 和 \(\sum f_i \le k\) 的概率。设 \(\sum f_i \le k\) 的概率是 \(h_k\)。

\(f_i\) 是从 \([0,1]\) 中等概率随机的，考虑容斥，我们容斥一些 \(f_i > 1\)，另一些 \(f_i\) 无限制。那么 \(h_k = \frac{1}{n!} \sum_{i} \binom{n}{i} (-1)^{i} (k-i)^n = \sum_{i} \frac{(-1)^i (k-i)^n}{i!(n-i)!}\)。求一行欧拉数那么卷积即可。

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顺便说一句，不用这种容斥，用连续段容斥，可以推得

\[\sum_{n,k} \left\langle\begin{matrix}n \\ k\end{matrix}\right\rangle \frac{x^{n} y^{t}}{n!} = G = \frac{t-1}{t-e^{(t-1)x}} \]