博弈论

二分图博弈

给定一张二分图，有一个棋子，每次可以将棋子移动到相邻的点，要求经过的点不能重复。谁不能移动谁输。

结论：先手赢当且仅当先手所在的点必然在最大匹配中。

普通博弈

CF1147C Thanos Nim
只要从后往前递推，就可以发现如果最小值出现次数大于 \(\frac{n}{2}\), 那么必败。否则必胜。

CF388C Fox and Card Game
可以发现，我们知道对于一个长度为 \(k\) 的串，每一个人都取了各自哪一边的 \(\frac{k}{2}\)。因为如果有情况更优，那么对手肯定可以把自己的那 \(\frac{k}{2}\) 个都去掉。
剩下的几个排序记录即可。

CF1190B Tokitsukaze, CSL and Stone Game
判掉特殊情况，剩下的发现最终局面一定是 \(0, 1, 2, 3...\) 的。判个奇偶性即可。

P2252 [SHOI2002]取石子游戏|【模板】威佐夫博弈
结论题。必输的状态很有限，设 \(x = \frac{\sqrt 5 + 1}{2}\),答案都是形如 \((x k, x^2 k)\) 的。

CF1190C Tokitsukaze and Duel
特判题，由于后手可以重复先手的操作，因此只要判断两步之内的结果即可。

CF731E Funny Game
从后往前做。首先让第一个人取完后面的所有东西，然后第二个人可以在一个位置对后缀取反。由于每一个人都希望最大化自己的分数-对手的分数，因此只要在一个位置对取反和不取反取 max 即可。

CF594A Warrior and Archer
A 可以取 \(\frac{n}{2} - 1\) 次，B 总可以保证两点间隔了 \(\frac{n}{2} - 1\) 个点，因此他可以让答案最大化为 \(max(a_{i + \frac{n}{2}} - a_i)\)。

CF794E Choosing Carrot
首先有很显然的 \(n^2\) 做法。
然后考虑到每一个人都能取 \(\frac{n - k}{2}\) 次，那么对于 \(l\) 到 \(r\) 的能取到的最大值为可以得出，奇数： \(max(min(a_mid, a_{mid - 1}, min(a_mid, a_{mid + 1}))\) 偶数：\(max(a_{mid}, a_{mid + 1})\)。
然后 \(ST\) 表求即可。其实可以不用 \(ST\) 表？

AT1999 [AGC002E] Candy Piles
考虑把这道题目转化成在网格图上的问题：一个点从 \((0, 0)\) 出发，\(A\) 和 \(B\) 轮流操作，走到网格图的边界的人赢，求最后谁获得胜利。
打表发现 \((x, y)\) 的必胜关系和 \((x + 1, y + 1)\) 的必胜关系一样，所以可以直接找到最上面的那个点然后再判断。

P4643 [国家集训队]阿狸和桃子的游戏
考虑答案就是 \(2 \sum\limits_{i \in S} w_i - \sum\limits_{i = 1}^{n} w_i + 2 \sum\limits_{e_u \in S, e_v \in S} w_e + \sum\limits_{[e_u \in S] + [e_v \in S] = 1} w_e - \sum\limits_{e = 1}^{m} w_e\)。
\(2 \sum\limits_{e_u \in S, e_v \in S} w_e + \sum\limits_{[e_u \in S] + [e_v \in S] = 1} w_e = \sum\limits_{e_u \in S} w_e + \sum\limits_{e_v \in S} w_e\)。因此把边权加到点权上就可以了。

CF1451F Nullify The Matrix
对于一个对角线记录异或和。对于 \((x, y)\)，我么满把他的贡献加在 \(sum_{x, y}\) 上。
如果存在一个位置满足 \(sum_{x} \neq 0\) ，那么我们可以通过操作让所有 \(sum_{x} = 0\)。
对于所有 \(sum_{x} = 0\)，那么在操作一次必然会存在一个位置满足 \(sum_{x} \neq 0\)。
因此如果 \(\forall sum_{x}= 0\)，那么后手胜；否则先手胜。

纳什均衡

巨佬对"纳什均衡"的讲解
重点：无论对方的选择如何，收益不变，从而列出方程组

CF98E Help Shrek and Donkey
"纳什均衡"的例题，这道题的难点在于"报一张自己的卡牌", 经过 推导 可以解决此问题。

SG 函数

\(SG_u = mex(SG_v)\)

终点的 \(SG\) 值为 \(0\)。

CF87C Interesting Game
SG 函数模板题。然后套上个 nim 即可。

CF317D Game with Powers
DFS 打表找 \(x, x^2, x^3.. x^k\) 的 \(SG\) 值。剩下的按照套路异或起来即可。

nim 游戏

如果所有石子堆的数量异或起来为 \(0\), 那么就必胜; 否则必败。

CF15C Industrial Nim
裸的 nim,算出前缀异或和来差分即可。