[ACM_数学] Fibonacci Nim(另类取石子,2-4组合游戏)

 

游戏规则:

  有一堆个数为n的石子,游戏双方轮流取石子,满足:

  1)先手不能在第一次把所有的石子取完;

  2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间(包含1和对手刚取的石子数的2倍)。

  约定取走最后一个石子的人为赢家,求必败态。

 

问题分析:

  这个和之前的Wythoff’s Game 和取石子游戏 有一个很大的不同点,就是游戏规则的动态化。之前的规则中,每次可以取的石子的策略集合是基本固定的,但是这次有规则2:一方每次可以取的石子数依赖于对手刚才取的石子数。

  这个游戏叫做Fibonacci Nim,肯定和Fibonacci数列:f[n]:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… 有密切的关系。如果试验一番之后,可以猜测:先手胜当且仅当n不是Fibonacci数。换句话说,必败态构成Fibonacci数列

  就像“Wythoff博弈”需要“Beatty定理”来帮忙一样,这里需要借助“Zeckendorf定理”(齐肯多夫定理):任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

 

处理思路:

  齐肯多夫(zeckendorf)定理:任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和,且一定存在一种取法取到不超过它的最大Fib数。

  CCR推测:如果n是Fib数那么先取石子的人取不到最后那个。

 

相关链接:

  http://www.blogbus.com/yjq24-logs/46150651.html

  

 

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <iostream>
 3 #include <string>
 4 using namespace std;
 5 #define MAXN (40000+10)
 6 int f[MAXN];
 7 class Test {
 8 public:
 9     static int win (int   n)
10     {
11         f[0]=f[1]=1;
12         int size=1;
13         while (f[size]<n) size++,f[size]=f[size-1]+f[size-2];//计算斐波那契数组
14         if(f[size]==n){//如果n为斐波那契数则必败
15             return -1;
16         }
17         while(n){//否则找出最小的取石子数
18             while(f[size]>n)size--;
19             if(f[size]==n){
20                 return f[size];
21             }
22             n-=f[size];
23         }
24     }
25 };
26 int main()
27 {
28     int n;cin>>n;
29     cout<<Test::win(n)<<endl;   
30 } 

 

 

      

 

posted @ 2014-03-04 00:37  beautifulzzzz  阅读(496)  评论(0编辑  收藏  举报