关于错排公式以及扩展的一些小结论

错排问题

存在一个排列 \(\{P_i\}\) ，求有多少个排列 \(\{S_i\}\) 满足 \(\forall P_i \not = S_i\) 。

错排公式

令 \(f(n)\) 为有 \(n\) 个元素的错排个数，显然 \(f(1) = 0, f(2) = 1\) 。

递推公式

我们会有一个递推公式：

\[f(n) = (n - 1)(f(n - 2) + f(n - 1)) \]

考虑新加进来一个元素，肯定不能放到它原来的位置，那么就是放到其他 \(n - 1\) 个位置中的一个。然后考虑另外一个被占位置的元素，如果它填到当前这个位置那么会剩下 \(n - 2\) 需要错排那么就是 \(f(n - 2)\) ，不填到当前这个位置那么就剩下所有数都一起错排 就是 \(f(n - 1)\) 。

容斥原理

这个显然是满足要求的一个计数，那么我们就可以枚举“犯了几个错误”，也就是至少有几个会在原位。

\[f(n) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} \frac{n!}{i!} \]

错排扩展

我们在之前那个问题上扩展一点，我们可以使得其中 \(k\) 个不存在限制。（也就是这个 \(k\) 个位置可以不满足 \(P_i \not = S_i\) ）

动态规划

这个可以用一个神奇的 \(dp\) 去计数，令 \(dp_{i, j}\) 为前 \(i\) 个数，有 \(j\) 个不存在限制。

显然对于 \(j = 0\) 的时候我们可以和错排一样转移：

\[dp_{i, 0} = (i - 1) (dp_{i - 1, 0} + dp_{i - 2, 0}) \]

那么对于 \(j \ge 1\) 的时候考虑新填一个元素造成的局面：

\[dp_{i, j} = dp_{i - 1, j - 1} + dp_{i - 1, j} \]

前面就是新填的元素放到自己位置，那么就和 \(dp_{i - 1, j - 1}\) 的局面是一样的了，后面就是放到其他任意一个位置那么不难发现这个和 \(dp_{i - 1, j}\) 的局面是一样的。

这样就可以结束这个扩展问题了。（注意前面边界问题就行了）

组合数学

其实应该可以更优秀地解决这个问题，因为可以发现 \(dp_{i, j}\) 和 \(\displaystyle {j \choose i}\) 的递推形式是一样的，所以我们可以 \(O(n)\) 推出第一行并且预处理阶乘及其逆元，那么我们可以用一个组合数直接算上去就行了。

至于是否有更好的实现，我并不是很清楚。。。

ps: 本文来自 zhou888 在今天考试中推的神奇 \(dp\) ，很有启发～