BZOJ 5249: [2018多省省队联测]IIIDX(贪心 + 线段树)

题意

这一天，\(\mathrm{Konano}\) 接到了一个任务，他需要给正在制作中的游戏 \(\mathrm{《IIIDX》}\) 安排曲目 的解锁顺序。游戏内共有\(n\) 首曲目，每首曲目都会有一个难度 \(d\) ，游戏内第 \(i\) 首曲目会在玩家 Pass 第 \(\lfloor \frac{i}{k} \rfloor\) 首曲目后解锁（ \(\lfloor x \rfloor\) 为下取整符号）若 \(\lfloor \frac{i}{k} \rfloor = 0\) ，则说明这首曲目无需解锁

举个例子：当 \(k = 2\) 时，第 \(1\) 首曲目是无需解锁的（ \(\lfloor \frac{1}{2} \rfloor = 0\) ），第 \(7\) 首曲目需要玩家Pass 第 \(\lfloor \frac{7}{2} \rfloor= 3\) 首曲目才会被解锁。

\(\mathrm{Konano}\) 的工作，便是安排这些曲目的顺序，使得每次解锁出的曲子的难度不低于作为条件需要玩家通关的曲子的难度，即使得确定顺序后的曲目的难度对于每个 \(i\) 满足

\[d_i \geq d_{\lfloor \frac{i}{k} \rfloor} \]

当然这难不倒曾经在信息学竞赛摸鱼许久的 \(\mathrm{Konano}\) 。那假如是你，你会怎么解决这份任务呢？

\((1 \le n \le 500000, 1 \le k,d \le 10^9)\)

题解

一开始只想到了树上贪心的思路qwq 但是拍了几组就发现错了

原来是 \(d_i\) 互不相同的时候是对的 相同的时候就会被 \(hack\) 掉 这个很容易举出反例

还是简单讲一下贪心思路吧...

我们发现这个题目可以转化成一个树上问题 (因为每个点有且仅有一个父亲(前驱节点)和它有关系)

就是使得原序列字典序尽量大 并且每对父子要满足儿子权值大于等于父亲

不难发现这个我们直接把这棵树建出来 然后按后序遍历倒着分配编号就行了 (可以自行模拟一下qwq)

意思就是我们每次贪心地使得序列在前面的点字典序尽量大 并且 它后面有足够空间来分配的最优方案

​

这个可以用来做正解的思路 我们考虑 序列从前往后 单独考虑

我们肯定需要当前这个最优 但后面我们不能就草莽就做下决定

所以我们可以考虑 根的为子树预留空位 的贪心

这个我们举 题解 的一个例子来考虑吧

我们将原 \(d\) 数组降序排列 例如

\[9,8,7,6,5,5,5,5,4,3,2 \]

我们令 \(F_i\) 表示第 \(i\) 个结点左边预留了的位置个数 那么 \((i-F_i)\) 就是 \(i\) 左边可用数的数量..

假设结点 \(1\) 的子树大小为 \(7\) 那么我第 \(1\) 个结点的值即为第 \(7\) 大的数 , \(5\)

我们把最右边的 \(5\) (第 \(9\) 位) 给第 \(1\) 个结点

那么我们需要在 \([1,8]\) 区间中预定 \(6\) 个数给第 \(1\) 个结点的子树

​

接着对于第 \(2\) 个结点 (设其子树大小为 \(s\) )

找到一个 尽量靠左 的位置 \(x\) ( 尽量大 ) 使得 \(x\) 右侧的可用数量都不少于 \(x\)

\[\displaystyle \min_{\forall i \ge x, (i-F_i) \ge s} x \]

而且到第 \(i\) 个点如果有父亲的话 , 父亲的预定额就可以去掉了 ( 只去掉一次 )

但保留父亲占的那一个位置就行了

然后这样就可以保证合法 并且 答案最优了

其实我想讲的是如何用线段树实现这个过程2333

我们其实只要开一颗支持 区间加减 + 区间最小值 的线段树就行了

维护一段区间 \(i-F_i\) 的最小值 我们就可以将那个 \(\forall\) 变成判一个了qwq

如果这段区间这个最小值不可行 并不直接代表整个区间不存在解 但代表如果整个区间全选上是不行的

然后我们取预定额的时候 把后面点需要预定的全都都减去那么多就行了

​

重点是如何查找那个尽量靠左的位置

你先考虑右区间是否可行 如果右区间 当前 不可行 那么左区间 整个 必不可行 那么直接去右区间看是否有解就行了

如果右区间全部都可行 那么我们去左区间看看是否可行 不进行回溯

如果左区间到底的话发现不可行 那么这个点 在原序列后一个就可行了

​

有一个小问题 如果这样预留的话 可能查的时候就把那个预留位置给占了啊qwq

但这种情况并不会出现的 因为你当前想要走到左子树 那么右子树必须全部满足

但你之前把右区间一个点直接减到不能走了 所以绝对是不可以出现这种情况的qwq (相当于右区间对左区间 \(chkmin\) )

代码

/**************************************************************
    Problem: 5249
    User: zjp_shadow
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:5244 ms
    Memory:28644 kb
****************************************************************/
 
#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(int i = (l), i##end = (r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(int i = (r), i##end = (l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memeset(a, v, sizeof(a))
using namespace std;
 
inline bool chkmin(int &a, int b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }
inline bool chkmax(int &a, int b) { return b > a ? a = b, 1 : 0; }
 
inline int read() {
    int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * fh;
}
 
void File() {
    freopen ("iiidx.in", "r", stdin);
    freopen ("iiidx.out", "w", stdout);
}
 
double k;
const int N = 500100;
 
#define lson o << 1, l, mid
#define rson o << 1 | 1, mid + 1, r
#define Del(o, v) tag[(o)] += (v), minv[(o)] -= (v);
struct Segment_Tree {
    int tag[N << 2], minv[N << 2];
 
    void push_down(int o) {
        if (!tag[o]) return; Del(o << 1, tag[o]); Del(o << 1 | 1, tag[o]); tag[o] = 0;
    }
 
    void push_up(int o) { minv[o] = min(minv[o << 1], minv[o << 1 | 1]); }
 
    void Build(int o, int l, int r) { 
        tag[o] = 0 ; if (l == r) { minv[o] = l; return ; }
        int mid = (l + r) >> 1; Build(lson); Build(rson); push_up(o);
    }
 
    void Update(int o, int l, int r, int ul, int ur, int uv) {
        if (ul <= l && r <= ur) { Del(o, uv); return; }
        int mid = (l + r) >> 1; push_down(o);
        if (ul <= mid) Update(lson, ul, ur, uv);
        if (ur > mid) Update(rson, ul, ur, uv);
        push_up(o);
    }
 
    int Query(int o, int l, int r, int qv) {
        if (l == r) return (minv[o] >= qv ? l : l + 1);
        int mid = (l + r) >> 1, res = 0; push_down(o); 
        if (minv[o << 1 | 1] >= qv) res = Query(lson, qv);
        else res = Query(rson, qv);
        push_up(o);
        return res;
    }
} T;
 
int Num[N], n, a[N], Size[N], fa[N];
int ans[N], cnt[N];
 
int main() {
    cin >> n >> k;
    For (i, 1, n) a[i] = read();
    sort(a + 1, a + 1 + n);
    reverse(a + 1, a + 1 + n);
    Fordown (i, n - 1, 1) if (a[i] == a[i + 1]) cnt[i] = cnt[i + 1] + 1;
    Fordown (i, n, 1) {
        ++ Size[i];
        Size[fa[i] = floor(i / k)] += Size[i];
    }
 
    T.Build(1, 1, n);
    For (i, 1, n) {
        if (fa[i] && fa[i] != fa[i - 1]) T.Update(1, 1, n, ans[fa[i]], n, -(Size[fa[i]] - 1));
        int res = T.Query(1, 1, n, Size[i]);
        res += cnt[res]; ++ cnt[res]; res -= (cnt[res] - 1); ans[i] = res;
        T.Update(1, 1, n, res, n, Size[i]);
    }
    For (i, 1, n) printf ("%d ", a[ans[i]]);
    return 0;
}