第四章 向量空间

4.1 向量空间的定义和例子

定义 4.1.1

定义 \(V\)\(\mathbb F\) 上一个 向量空间、线性空间 ,此时 \(V\) 中元素称为 向量,然后定义 零向量、负向量 。(在上面定义了 加法、数乘

例 4.1.2

  • \(\mathbb F^n, M_{m,n}(\mathbb F), \mathrm{Hom}_{\mathbb F}(\mathbb F^n, \mathbb F^m)\) 是向量空间
  • \(\mathbb F\) 是向量空间,若 \(\mathbb K\) 也是数域且 \(\mathbb F \subseteq \mathbb K\) 那么 \(\mathbb K\)\(\mathbb F\) 上的一个向量空间(数乘的数在 \(\mathbb F\) 中)。(如 \(\mathbb C, \mathbb R\)\(\mathbb Q\) 上的向量空间)
  • \(\mathbb F_n[x]\) (关于 \(x\) 次数 \(\le n\) 的多项式集合)是向量空间
  • \(C([a, b])\)\([a, b]\) 上连续实函数),\(D([a, b])\)\([a, b]\) 上所有可微实函数)是 \(\mathbb R\) 上向量空间
  • 收敛到 \(0\) 的实数无穷数列集合
  • 手动定义加法和数乘的映射 \(\mathbb F^{X}\) 是向量空间
  • 定义 \(\mathbb R^+\) 上加法 \(ab\) 数乘 \(a^k\)\(\mathbb R\) 上向量空间
  • 只含零向量空间为零空间

定义 4.1.3

\(V\) 的非空子集 \(W\) 满足加法和数乘封闭,那么 \(W\)\(V\) 的一个子空间

  • \(\{0\}\)\(V\) 称为平凡子空间
  • \(W\) 是子空间当且仅当 \(k\alpha + l\beta \in W(\forall \alpha, \beta \in W, k, l \in \mathbb F)\)

4.2 向量的线性相关性,基与维数

可以把 \(1.3\) 的结论推广到任意向量空间,证明也可以一字不动搬过来

定义线性表示、线性相关、线性无关,以及两个向量组的等价关系

定理 4.2.1(Steinitz Exchange Lemma)

\(1.3. 11\)

推论 4.2.2

\(V\) 中两个线性无关向量组等价,则元素个数一样。

定义 4.2.3

定义线性无(相)关子集。(任意有限个互不相同的向量总是线性无关的子集和)

注记 4.2.4

\(\emptyset\) 看做零空间向量的基。

例 4.2.5

  • \(\mathbb C\) 看做 \(\mathbb R\) 上一个向量空间,那么 \(\{1, i\}\) 是一个基。
  • \(V = \mathbb F[x]\) 的一个基为 \(\mathcal B = \{1, x, x^2, \dots, x^n, \dots\}\)
  • \(\{1, x, x^2, \dots, x^n, \dots\}\)\(C[a, b](a < b)\) 的一个线性无关子集,\(\{e^{nx}| n \ge 0\}\) 也是一个线性无关子集。
  • \[\delta_x: X \to \mathbb F, y \mapsto \begin{cases} 1, & y = x\\ 0, & y \not= x\end{cases} \]

    \(\mathcal B = \{\delta_x | x \in X\}\)\(\mathbb F^{(X)}\) 的一个基。

定义 4.2.6

\(V\) 存在一个有限子集 \(S = \{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}\) 使得 \(V = \mathcal L(S)\) 那么称 \(V\) 是有限维的。

注记 4.2.7

\(V\) 是个无限维向量空间,那么 \(\forall n \in \mathbb N^*\)\(V\) 中都存在 \(n\) 个线性无关的向量。

定义 4.2.8

定义集合 \(S\)极大(线性)无关组

命题 4.2.9

\(S\)\(V\) 的一个含有非零向量的向量组,那么 \(S\) 一定有极大线性无关组,且任意两个极大无关组所含向量个数相同。

定理 4.2.10

\(V\) 是一个有限维向量空间,则 \(V\) 一定有基,并且它任意两个基所含向量个数相等。(可推广到无限维向量空间)

定义 4.2.11

\(V\) 是一个有限维向量空间且 \(\mathcal B\)\(V\) 的一个基,那么称 \(|B\)\(V\)维数,记作 \(\mathrm{dim}_{\mathbb F} = |\mathcal B|\) 。 若 \(V\) 为无限维则 \(\mathrm{dim}_{\mathbb F} = \infty\)

命题 4.2.12

\(V\) 是一个 \(n\) 维向量空间,那么任意 \(n + 1\) 个向量线性无关。

命题 4.2.13

\(V\) 是一个有限维向量空间,那么 \(V\) 中任意一个线性无关组向量都可以扩充成 \(V\) 的一个基。

推论 4.2.14

\(W\) 是有限维向量 \(V\) 的一个子空间,则 \(W\) 是有限维的,并且 \(W\) 的基总可以扩充成 \(V\) 的一个基。特别地 \(\mathrm {dim}_{\mathbb F} W \le \mathrm {dim}_{\mathbb F} V\)

4.3 坐标与基变化

\(\alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_n \alpha_n\)\((x_1, x_2, \dots, x_n)\)
\(\alpha\) 在基 \(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 下的坐标坐标向量

若对于任意一组数 \(k_1, k_2, \dots, k_m \in \mathbb F\) 总有

\[k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2 + \dots + k_m \xi_m = 0 \Leftrightarrow k_1 \eta_1 + k_2 \eta_2 + \dots + k_m \eta_m = 0 \]

因此总有 \(\mathrm r(\{\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_m\}) = \mathrm r(\{\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_m\})\)

定义 4.3.1

定义基 \(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 到基 \(\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n\}\)过渡矩阵 \(A\)

\((\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) A\)

例 4.3.2

在平面上 \(V_2\) 上取两个正交的单位向量 \(\alpha_1, \alpha_2\) 它们构成 \(V_2\) 的一个基,则转 \(\theta\) 角得到 \(\alpha_1', \alpha_2'\) 那么 \(\{\alpha_1', \alpha_2'\}\) 也是一个基,则过渡矩阵为

\[\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \]

定理 4.3.3

\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 到基 \(\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n\}\) 的过渡矩阵为 \(A\)
\(\{\beta, \beta_2, \dots, \beta_n\}\) 到基 \(\{\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n\}\) 的过渡矩阵为 \(B\)

\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 到基 \(\{\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n\}\) 的过渡矩阵为 \(AB\)

定理 4.3.4

  • 过渡矩阵可逆,逆矩阵为反过来的过渡矩阵
  • \(A\)\(n\) 阶可逆矩阵,且 \(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 为基且 \((\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) A\) 那么 \(\{\beta, \beta_2, \dots, \beta_n\}\) 也是基,且 \(A\) 为过渡矩阵

4.4 子空间的交与和,商空间

\(V\)\(\mathbb F\) 上一个向量空间,且 \(V_1, V_2\)\(V\) 的子空间,那么 \(V_1 \cap V_2\)\(V\) 的子空间。

\(V_1 + V_2 = \{\alpha_1 + \alpha_2 ~|~ \alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2\}\)\(V_1, V_2\),也为 \(V\) 的子空间。

\(V_1 + V_2 + \dots + V_s = \mathcal L(V_1 \cup V_2 \cup \dots \cup V_s)\)

\(V_1 + V_2 + \dots + V_s\) 为包含 \(V_1, V_2, \dots, V_s\) 的最小子空间。

注记 4.4.1

\[\bigcap_{i \in I} V_i = \{\alpha \in W | \alpha \in V_i, \forall i \in I\}\\ \sum_{i \in I} V_i = \mathcal L(\cup_{i \in I} V_i) = \{\alpha_1 + \cdots + \alpha_m\} \]

定理 4.4.3

\(V_1, V_2\)\(V\) 的两个有限维子空间,则

\[\mathrm{dim}(V_1 + V_2) = \mathrm{dim} V_1 + \mathrm{dim} V_2 - \mathrm{dim}(V_1 \cap V_2) \]

考虑把 \(V_1, V_2, V_1 \cap V_2\) 的基表示出来,然后就证他们并后的基线性无关即可。那个考虑反证法,可以逐次倒退出系数全为 \(0\)

定义 4.4.4

\(V_1, V_2, \dots, V_m\)\(V\)\(m\) 个子空间,若 \(\forall 1 \le i \le m\)

\[V_i \cap (V_1 + \cdots + V_{i- 1} + V_{i + 1}) \]

则称 \(V_1 + V_2 + \cdots + V_m\)直和,记作

\[V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m \]

定理 4.4.6

\(V_1, V_2, \dots, V_m\)\(V\)\(m\) 个有限维子空间,记 \(V = V_1 + V_2 \cdots + V_m\) 则下列命题等价:

  • \(W = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m\) 是直和
  • \(\forall 2 \le i \le m\)

    \[V_i \cup (V_1 + \cdots + V_{i - 1}) = 0 \]

  • \(\mathrm{dim} W = \mathrm{dim} V_1 + \mathrm{dim} V_2 + \cdots + \mathrm{dim} V_{m}\)
  • \(\{\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \dots, \alpha_{it_i}\}\)\(V_i\) 一个基,其中 \(t_i = \mathrm{dim} V_i, i = 1, 2, \dots, m\)

    \[\mathcal B = \{\alpha_{ij} | 1 \le i \le m, 1 \le j \le t_i\} \]

    \(V\) 的一个基
  • \(W\) 中每个向量唯一表示成 \(V_1, V_2, \dots, V_m\) 中向量之和,即若 \(\alpha \in W\)

    \[\alpha = \alpha_1 + \dots + \alpha_m = \beta_1 + \dots + \beta_m \]

    其中 \(\alpha_i, \beta_i \in V_i\)\(\alpha_i = \beta_i, \forall 1 \le i \le m\)

推论 4.4.8

\(W\)\(V\) 的一个子空间,则存在 \(V\) 的子空间 \(W'\) 使得 \(V = W \oplus W'\)

我们称上述子空间 \(W'\)\(W\)余空间补空间


\(W\)\(V\) 的一个子空间,在 \(V\) 上定义二元关系:

\[\alpha \sim \beta \Leftrightarrow \alpha - \beta \in W \]

称作 \(\alpha\)\(\beta\)\(W\) 同余,亦记作 \(\alpha \equiv \beta \pmod W\)

对于任意 \(\alpha \in V\)\(\overline \alpha\) 记作 \(\alpha\) 的等价类,即有

\[\overline \alpha = \{\beta \in W | \beta \sim \alpha\} = \{\alpha + \xi | \xi \in W\} =: \alpha + W \]

我们也称 \(\alpha + W\)\(W\) 的一个陪集,用 \(V/W\)\(V\) 中所有等价类(即 \(W\) 的所有陪集)的集合,称 \(V\) 关于子空间 \(W\)商集

进一步,\(V\) 上的加法运算导出一个映射

\[V/W \times V/W \to V \times W\\ (\overline \alpha, \overline \beta) \mapsto \overline {\alpha + \beta} =: \overline \alpha + \overline \beta \]

这个是合理定义的(也就是不取决于代表元的选取)

同时可以定义数乘,也是合理定义的。

综上得到,上述定义的加法和数乘 \(V / W\)\(\mathbb F\) 上的一个向量空间,称为 \(V\) 关于子空间 \(W\)商空间

命题 4.4.9

\(W\) 是向量空间 \(V\) 的一个子空间

  • \(\alpha_1 + W, \alpha_2 + W, \dots, \alpha_n + W\)\(V / W\) 中线性无关,则 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\)\(V\) 中一个线性无关的向量组。
  • \(V / W\) 是有限维的且 \(\alpha_1 + W, \alpha_2 + W, \dots, \alpha_n + W\)\(V / W\) 的一个基,则 \(V = W \oplus U\) ,其中 \(U = \mathcal L(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\)

进一步 \(W\)\(V\) 的一个子空间,且假设 \(\mathcal X\)\(W\) 的一个基。那么根据命题存在 \(V\) 的一个线性无关子集 \(\mathcal Y\) 使得 \(\mathcal X \cap \mathcal Y = \emptyset\)\(\mathcal B = \mathcal X \cup \mathcal Y\)\(\overline \mathcal B = \{\overline \beta = \beta + W ~|~ \beta \in \mathcal Y\}\)\(V / W\) 的一个基。

因此 \(\mathrm{dim} V / W = \mathrm{dim} V - \mathrm{dim} W\) 此时,我们称 \(\mathrm{dim} V / W\)\(W\)\(V\) 中的余维数

4.5 向量空间的同构

作为向量空间 \(V\)\(\mathbb F^n\) 的结构是相同的。

定义 4.5.1

\(V, W\) 是数域 \(\mathbb F\) 上两个向量空间且 \(\phi: V \to W\) 是个双射。若 \(\forall \alpha, \beta \in W, k \in \mathbb F\)

\[\phi(\alpha + \beta) = \phi(\alpha) + \phi(\beta), \phi(k \alpha) = k\phi(\alpha) \]

那么称 \(\phi\)\(V\)\(W\) 的一个同构(映射),称 \(V\)\(W\)同构的,记作 \(V \cong W\)

定理 4.5.2

数域 \(\mathbb F\) 上任意一个 \(n\) 维向量空间都与 \(\mathbb F\) 上的 \(n\) 维行(或列)向量空间 \(\mathbb F^n\) 同构。

定理 4.5.3

  • \(\phi(0) = 0, \phi(-\alpha) = - \phi(\alpha), \alpha \in W\)
  • \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m \in V\) 线性相关(无关)\(\Leftrightarrow\) \(\phi(\alpha_1), \phi(\alpha_2), \dots, \phi(\alpha_m) \in W\) 线性相关(无关),特别地 \(\mathrm{dim}_{\mathbb F} V < \infty \Leftrightarrow \mathrm{dim}_{\mathbb F} W < \infty\)
  • \(\phi^{-1}: W \to V\) 也为同构

命题 4.5.4

向量空间的同构是一个等价关系。

推论 4.5.5

数域 \(\mathbb F\) 上两个有限维向量空间同构的充要条件是它们的维数相同。

充分性:证明原来的基映射后可以直接成为新的基。

必要性:\(V \cong \mathbb F^n \cong W\)

命题 4.5.6

\(U, W\)\(V\) 的子空间且 \(V = U \oplus W\)\(U \cong V / W\)

posted @ 2020-11-27 10:41  zjp_shadow  阅读(641)  评论(2编辑  收藏  举报