HAOI2016 简要题解

「HAOI2016」食物链

题意

现在给你 \(n\) 个物种和 \(m\) 条能量流动关系，求其中的食物链条数。

\(1 \leq n \leq 100000, 0 \leq m \leq 200000\)

题解

拓扑 \(dp\) 入门题，没什么好讲的。

但是注意要看清题，单个生物不算食物链。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for (register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for (register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Rep(i, r) for (register int i = (0), i##end = (int)(r); i < i##end; ++i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl

using namespace std;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return b > a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read() {
	int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
	return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("2060.in", "r", stdin);
	freopen ("2060.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 1e5 + 1e3;

int n, m, f[N]; 

vector<int> G[N]; int indeg[N];

int main () {

	File();

	n = read(); m = read();

	For (i, 1, m) {
		int u = read(), v = read();
		G[u].push_back(v); ++ indeg[v];
	}

	queue<int> Q;
	For (i, 1, n) if (!indeg[i] && G[i].size()) Q.push(i), f[i] = 1;

	int ans = 0;
	while (!Q.empty()) {
		int u = Q.front(); Q.pop();
		for (int v : G[u]) {
			f[v] += f[u];
			if (!(-- indeg[v])) Q.push(v);
		}
		if (!bool(G[u].size())) ans += f[u];
	}
	printf ("%d\n", ans);

    return 0;

}

「HAOI2016」放棋子

题意

给你一个 \(N \times N\) 的矩阵，每行有一个障碍，数据保证任意两个障碍不在同一行，任意两个障碍不在同一列，要求你在这个矩阵上放 \(N\) 枚棋子（障碍的位置不能放棋子），要求你放 \(N\) 个棋子也满足每行只有一枚棋子，每列只有一枚棋子的限制，求有多少种方案。

\(N \le 200\)

题解

题意其实就是给你一个障碍排列 \(\{A_i\}\) 求有多少个排列 \(\{P_i\}\) 满足对于 \(\forall i\) 都有 \(A_i \not = P_i\) 。

不难发现 \(A_i\) 的顺序是不影响答案的，那么就是错排数了。

利用递推公式 \(f[n] = (n - 1)(f[n - 1] + f[n - 2])\) 和 python 的高精度就可以求解了。（偷懒啦）

代码

n = int(input())
f = [0] * (n + 3)
f[2] = 1
for i in range(3, n + 1):
    f[i] = (i - 1) * (f[i - 1] + f[i - 2])
print(f[n])

「HAOI2016」地图

题意

出题人语文老师 die 了。

有一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的仙人掌，其中每个点有一种颜色种类 \(a_i\) 。

有 \(q\) 次询问，每次给出三个参数 \(ty, x, y\) ，表示如果当前 \(1 \to x\) 所有简单路径都封死的情况下，\(x\) 能到达点的颜色编号 \(a_i \le y\) 且出现次数 \(\mod 2 = ty\) 的颜色有多少种。。

\(n \leq 100000, m \leq 150000, Q \leq 100000, a_i \leq 10^6\)

题解

前面那个仙人掌，然后封路。其实就是对应求出圆方树后 \(x\) 的子树。（至于这个圆方树不一定要对于点双建新点，用原来的点就行了）

问题就转化成为多次询问区间中颜色在一段区间内的颜色 \(\le y\) 出现次数为奇/偶的点。

如果做过 Gty的二逼妹子序列 那么就绝对会做这题啦。

考虑莫队，那么插入和删除都要 \(\mathcal O(n \sqrt m)\) 次，询问区间权值种类只有 \(\mathcal O(m)\) 次。

如果用线段树维护，瓶颈在于前面插入删除，就变成 \(\mathcal O(n \sqrt m \log n)\) 应该跑不过。

利用平衡结合的思路，减少前者的复杂度，增加后者的复杂度。不难想到分块可以做到 \(\mathcal O(1)- \mathcal O(\sqrt n)\) 或者 \(\mathcal O(\sqrt n) - \mathcal O(1)\) 插入+询问。

那么就可以做到 \(\mathcal O(n \sqrt m + m \sqrt n)\) 啦。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for (register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for (register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Rep(i, r) for (register int i = (0), i##end = (int)(r); i < i##end; ++i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl
#define pb push_back

using namespace std;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return b > a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read() {
	int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
	return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("2062.in", "r", stdin);
	freopen ("2062.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 1.5e5 + 1e3;

int n, m;

vector<int> G[N], E[N];

int dfn[N], lowlink[N], stk[N], top;

void Tarjan(int u, int fa = 0) {
	static int clk = 0;
	dfn[u] = lowlink[u] = ++ clk;
	stk[++ top] = u;
	for (int v : G[u]) if (!dfn[v]) {
		Tarjan(v, u);
		chkmin(lowlink[u], lowlink[v]);
		if (lowlink[v] >= dfn[u]) {
			int cur;
			do E[u].pb(cur = stk[top --]); while (cur != v);
		}
	} else if (v != fa) chkmin(lowlink[u], dfn[v]);
}

int efn[N], num[N];

void Dfs_Init(int u, int fa = 0) {
	static int clk = 0;
	num[dfn[u] = ++ clk] = u;
	for (int v : E[u]) 
		if (v != fa) Dfs_Init(v, u);
	efn[u] = clk;
}

int a[N], Hash[N];

int blksz, blkid[N], Beg[N], End[N];

struct Query {
	int id, opt, l, r, lim;
} Q[N];

struct Cmp {
	inline bool operator () (const Query &lhs, const Query &rhs) {
		if (blkid[lhs.l] != blkid[rhs.l]) return blkid[lhs.l] < blkid[rhs.l];
		if (lhs.r != rhs.r) return lhs.r < rhs.r;
		return lhs.id < rhs.id;
	}
};

int sum[N][2], times[N];

inline void Insert(int col) {
	if (times[col]) -- sum[blkid[col]][times[col] & 1];
	++ sum[blkid[col]][(++ times[col]) & 1];
}

inline void Delete(int col) {
	-- sum[blkid[col]][times[col] & 1];
	if ((-- times[col])) ++ sum[blkid[col]][times[col] & 1];
}

int ans[N];

int main () {

	File();
	
	n = read(); m = read();

	For (i, 1, n)
		Hash[i] = a[i] = read();
	sort(Hash + 1, Hash + n + 1);
	int cnt = unique(Hash + 1, Hash + n + 1) - Hash - 1;
	For (i, 1, n)
		a[i] = lower_bound(Hash + 1, Hash + cnt + 1, a[i]) - Hash;

	For (i, 1, m) {
		int u = read(), v = read();
		G[u].pb(v); G[v].pb(u);
	}
	Tarjan(1); Dfs_Init(1);

	int q = read();
	blksz = sqrt(max(n, q) + .5);
	For (i, 1, max(n, q)) {
		blkid[i] = i / blksz + 1;
		if (blkid[i] != blkid[i - 1])
			End[blkid[i - 1]] = i - 1, Beg[blkid[i]] = i;
	}
	End[blkid[max(n, q)]] = max(n, q);

	For (i, 1, q) {
		int opt = read(), x = read(), y = read();
		y = upper_bound(Hash + 1, Hash + cnt + 1, y) - Hash - 1;
		Q[i] = (Query) {i, opt, dfn[x], efn[x], y};
	}
	sort(Q + 1, Q + q + 1, Cmp());

	int l = 1, r = 0;

	For (i, 1, q) {

		while (r < Q[i].r) Insert(a[num[++ r]]);
		while (l > Q[i].l) Insert(a[num[-- l]]);
		while (r > Q[i].r) Delete(a[num[r --]]);
		while (l < Q[i].l) Delete(a[num[l ++]]);

		int lim = Q[i].lim, res = 0;
		For (j, 1, blkid[lim] - 1)
			res += sum[j][Q[i].opt];
		For (j, Beg[blkid[lim]], lim) if (times[j])
			res += (times[j] & 1) == Q[i].opt;
		ans[Q[i].id] = res;

	}

	For (i, 1, q)
		printf ("%d\n", ans[i]);

	return 0;

}

「HAOI2016」字符合并

题意

有一个长度为 $ n $ 的 $ 01 $ 串，你可以每次将相邻的 $ k $ 个字符合并，得到一个新的字符并获得一定分数。得到的新字符和分数由这 $ k $ 个字符确定。你需要求出你能获得的最大分数。

$ 1 \leq n \leq 300, \ 0 \leq c_i \leq 1, \ w_i \geq 1, \ k \leq 8$

题解

一开始想到 \(dp\) 了，又不会转移。。。最近为啥这么多这种情况啊 TAT 看来细节还是不会写。

看到数据范围不难想到一个 区间+状压 \(dp\) ，令 \(f_{l, r, S}\) 为 \([l, r]\) 最后合并成 \(S\) 这个状态的最优答案。

注意到如果 \(|S| > k\) 一定不优，我们一定会在当前把它合并掉。

那么转移的时候如果 \(|S| = k\) 那么我们就合并就好啦。

其他的话，转移不需要枚举左右都选了很多个的情况，强制左边选 \(|S| - 1\) 个右边选 \(1\) 个就好啦，讨论的情况会少很多QAQ

这样的话，复杂度是 \(\mathcal O(n^3 2^k)\) 的，可能被卡常。

我们再进行一点小小的优化，你会发现每次合并的时候，很多合并对应的方案是相同的。我们在枚举断点那里每次跳 \(k - 1\) 然后合并就好啦 qwq

复杂度此时就变成 \(\mathcal O(\displaystyle \frac{n^32^k}k)\) 啦，跑的还挺快的。

总结

最优化转移还是那句话，宜多不宜少。你把很多个更优秀的状态记到劣一点的状态上是不会影响答案的，此时转移会变得容易许多。

然后想一个看起来不对的 \(dp\) ，猜测一下它能包含所有状态，举一下反例，发举不出，那么此时它就能包含所有可能的状态啦。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for (register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for (register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Rep(i, r) for (register int i = (0), i##end = (int)(r); i < i##end; ++i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl

using namespace std;

using ll = long long;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return b > a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read() {
	int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
	return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("2063.in", "r", stdin);
	freopen ("2063.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 310;

const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

ll f[N][N][1 << 8], g[2];

char str[N]; int a[N], c[N], w[N];

int main () {

	File();

	int n = read(), k = read();

	scanf ("%s", str + 1);
	For (i, 1, n) a[i] = str[i] ^ 48;
	Rep (i, 1 << k) c[i] = read(), w[i] = read();

	For (i, 1, n) For (j, i, n) Rep (S, 1 << k) f[i][j][S] = -inf;

	Fordown (i, n, 1) For (j, i, n) {
		if (i == j) {
			f[i][j][a[i]] = 0; continue;
		}
		int len = (j - i) % (k - 1); if (!len) len = k - 1;
		for (int mid = j; mid > i; mid -= k - 1) Rep (S, 1 << len) {
			chkmax(f[i][j][S << 1], f[i][mid - 1][S] + f[mid][j][0]);
			chkmax(f[i][j][S << 1 | 1], f[i][mid - 1][S] + f[mid][j][1]);
		}

		if (len == k - 1) {
			g[0] = g[1] = -inf;
			Rep (S, 1 << k) 
				chkmax(g[c[S]], f[i][j][S] + w[S]);
			Rep (id, 2) f[i][j][id] = g[id];
		}
	}

	ll ans = -inf;
	Rep (S, 1 << k) 
		chkmax(ans, f[1][n][S]);
	printf ("%lld\n", ans);

    return 0;

}

「HAOI2016」找相同字符

可以参考我原来写的 后缀数组小结 ，里面的最后一道例题就是啦。

这个也可以广义 \(SAM\) 解决，或者一个串在另外一个 \(SAM\) 跑匹配就行了。