算法第三章作业

一、动态规划求解步骤分析
1.1 递归方程式
定义：设 dp [i][j] 表示从第 i 行第 j 列元素到三角形底部的最优路径和，triangle [i][j] 为该位置的元素值。
递归方程：dp[i][j] = triangle[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])
边界条件：当 i 为三角形最后一行时，dp [i][j] = triangle [i][j]
1.2 填表法细节
表的维度：基础为二维表 dp [n][n]（n 为三角形行数），可优化为一维表 dp [n]。
填表范围：行 i 从 n-2 逆序到 0，列 j 从 0 到 i。
填表顺序：自底向上、从左到右（先计算底层子问题，再推导上层）。
最优值位置：dp [0][0]（起点到终点的最优路径和）
1.3 复杂度分析
时间复杂度：O (n²)，需遍历三角形所有 n (n+1)/2 个元素，每个元素计算仅需 O (1)。
空间复杂度：二维表实现为 O (n²)。
二、动态规划算法的理解和体会
动态规划的核心是 “拆分问题、复用子解”，通过将原问题分解为重叠子问题，利用最优子结构性质递推全局最优。其关键在于定义清晰的状态和递归方程，将递归的 “重复计算” 转化为 “表格存储”，大幅提升效率。
实践中，需确定合理的填表顺序。它更适合解决多阶段决策、最优目标类问题，本质是用空间换时间，平衡效率与资源占用。