bzoj4326: NOIP2015 运输计划（二分+LCA+树上差分）

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4326

题目大意：有一颗含有n个顶点的树，每两个点之间有一个边权，现在有m个运输计划，每个运输计划包含u和v，一个运输计划的代价为u到v的最短距离，现在可以使一条边的权值为0，求出使所以计划中代价最大值的最小值。

解题思路：最大值的最小值很明显需要二分答案，首先求出所以运输计划消耗的代价，然后二分答案mid，对于消耗的的代价大于mid的运输计划，假设有m条，我们只能使一条边的权值变为0，所以这条边必定是这m个运输计划的路径交，转化成一个求路径交的问题了，这里我们可以用树上差分来做，再开两个数组：tmp和prev。tmp用来记录点的出现次数（具体点说实际上记录的是点到其父亲的边的出现次数），prev记录每个点到其父亲的那条边权值。对于一条起点s，终点t的路径。我们这样处理：tmp[s]++,tmp[t]++,tmp[LCA(s,t)]-=2。最后要从所有叶结点把权值向上累加用一遍dfs就可以了。tmp[s]++,推到根后，根到s的tmp值均加了1，同理tmp[t]++，从根到t的tmp值也都加了1，而tmp[LCA(s,t)]-=2上推使得从根到LCA(s,t)的tmp值又变回原来的值，就能把多余的路径都减掉。对于多次操作，我只需要维护tmp的值，最后一次性上推即可。如果tmp[i]等于路径的个数，即代表i到其父亲的那条边是所有路径的交。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=300007;
int n,m,dist[maxn],tot,depth[maxn],head[maxn],fa[maxn][25],tmp[maxn],prev[maxn];
struct Edge{
    int v,next,w;
}edge[maxn*2];
void add(int u,int v,int w){
    edge[tot].v=v;
    edge[tot].w=w;
    edge[tot].next=head[u];
    head[u]=tot++;
}
struct Query{
    int u,v,dis,lca;
}q[maxn];
void dfs(int u,int pre){
    depth[u]=depth[pre]+1;
    fa[u][0]=pre;
    for(int i=1;i<=20;i++)
    fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].v;
        if(v==pre){
            prev[u]=edge[i].w;
            continue;
        } 
        dist[v]=dist[u]+edge[i].w;
        if(v!=pre) dfs(v,u);
    }
}
int LCA(int u,int v){
    if(depth[u]<depth[v]) swap(u,v);
    for(int i=20;i>=0;i--){
        if(depth[u]-(1<<i)>=depth[v]) u=fa[u][i];
    }
    if(u==v) return u;
    for(int i=20;i>=0;i--){
        if(fa[u][i]!=fa[v][i]) u=fa[u][i],v=fa[v][i];
    }
    return fa[u][0];
}
void dfs1(int u,int pre){
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].v;
        if(v==pre) continue;
        dfs1(v,u);
        tmp[u]+=tmp[v];
    }
}
bool check(int x){
    memset(tmp,0,sizeof(tmp));
    int cnt=0;
    int Maxx=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(q[i].dis>x){
            tmp[q[i].u]++;
            tmp[q[i].v]++;
            tmp[q[i].lca]-=2;
            Maxx=max(Maxx,q[i].dis);
            cnt++;
        }
    }
    if(cnt==0)return true;
    dfs1(1,0);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(tmp[i]==cnt&&Maxx-prev[i]<=x) return true;
    }
    return false;
}
int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w); add(v,u,w);
    }
    depth[0]=-1;
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&q[i].u,&q[i].v); 
        q[i].lca=LCA(q[i].u,q[i].v);
        q[i].dis=dist[q[i].u]+dist[q[i].v]-2*dist[q[i].lca];
    //    cout<<q[i].dis<<endl;
    //    cout<<dist[q[i].u]<<" "<<dist[q[i].v]<<" "<<dist[lca(q[i].u,q[i].v)]<<endl;
    }
    int l=0,r=1e9;
    int ans;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)){
            ans=mid;
            r=mid-1;
        }else l=mid+1;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}