CF1486F Pairs of Paths

题意

题链

给定 \(n\) 个点的树，和 \(m\) 路径，求有且仅有一个公共点的路径对数。

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Solution

分类讨论一下：

\(1.\) 除了一个点的路径以外，其它的路径相互之间若要只有一个公共点，那么这个公共点必定在其中一个路径的 Lca 上。这点易证。

对于剩下的情况中，我们把路径按照 Lca 是否相同来分类，并且对于同类和不同类的两种贡献分开计算。

我们会发现，一条路经 \((x,y,z),z=\texttt{Lca}(x,y)\)，另外一条路径 \((a,b)\) 与 \((x,y)\) 只有一个公共点的充要条件是：找到 \(x,y\) 对应的祖先，满足是 \(z\) 的儿子的两个点 \(x',y'\)，\((a,b)\) 不经过 \(x'\) 且不经过 \(y'\)。

\(2.\) 对于不同类的两条路径，只需要对于每条路径 \((x,y)\) 查询 经过它们 Lca 的不同类路径数量，和分别 经过 \(x',y'\) 的不同类路径数量。（因为是不同类路径，所以不存在同时经过 \(x',y'\) 的路径，除了 \(\texttt{Lca}(x,y)=y\) 的情况特殊考虑一下）

\(3.\) 对于同类的，只需要容斥一下，因为两两不同的不太好算，我们用总的减去两个都相同的，以及有且仅有一个相同的数量。

大体思路就是这么简单，具体代码实现可能有一点细节需要注意。

因为这是我自己胡的 \(\operatorname O(n\log n)\) 做法，没看题解，所以可能会有更加简便的同类复杂度做法在常数上爆踩我，毕竟我是大常数选手。

说不定不是常数的问题，因为我预处理的复杂度是 \(\operatorname O(n\log n)\) 的，如果能够有 \(\operatorname O(n)\) 处理出 Lca 以及 \(x',y'\) 的东西，那这道题的复杂度就能够达到 \(\operatorname O(n)\) 了。

不知道 CF 上 DP 的标签是怎么回事，说不定有 DP 的做法。

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Code

#include <vector>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#define LL long long
#pragma GCC optimize(3)
using namespace std;
const int Rea=1e5+3;
struct Rin
{
    char c;
    inline char gc()
    {
        static char rea[Rea];
        static char *head,*tail;
        return head==tail&&(tail=(head=rea)+fread(rea,1,Rea,stdin),head==tail)?EOF:*head++;
    }
    inline Rin&operator >>(int &x)
    {
        x=0;
        bool tag=false;
        for(c=gc();c>'9'||c<'0';c=gc())if(c=='-'){c=gc();tag=true;break;}
        for(;c>='0'&&c<='9';c=gc())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^'0');
        if(tag)x=-x;
        return *this;
    }
}rin;
inline void jh(int &x,int &y){if(x^y)x^=y^=x^=y;return;}
const int N=3e5+3;
int n,m;

namespace St
{
    vector<int>nxt[N];
    int f[20][N];
    int dep[N];
    inline void dfs(int x,int fa){dep[x]=dep[fa]+1;f[0][x]=fa;for(vector<int>::iterator i=nxt[x].begin();i!=nxt[x].end();i++)if((*i)!=fa)dfs(*i,x);}
    inline int Lca(int x,int y)
    {
        if(dep[x]<dep[y])jh(x,y);
        for(int i=dep[x]-dep[y],j=0;i;i>>=1,j++)if(i&1)x=f[j][x];
        for(int j=0;j>=0;){if(f[j][x]!=f[j][y])x=f[j][x],y=f[j][y],j++;else j--;}
        if(x!=y)x=f[0][x];
        return x;
    }
    inline int find(int x,int y){for(int i=dep[x]-dep[y]-1,j=0;i>0;i>>=1,j++)if(i&1)x=f[j][x];return x;}
}
using namespace St;


vector<int>a[N];
vector<pair<int,int> >b[N];
int les[N];
int cutt[N];
int ruir[N];
int ruier[N];
LL ans;

inline void init_ans(int x,int fa)
{
    int cuts=a[x].size()+b[x].size();
    for(vector<int>::iterator i=nxt[x].begin();i!=nxt[x].end();i++)if((*i)!=fa)init_ans(*i,x),ruir[x]+=ruir[*i];
    ans+=1LL*ruir[x]*ruier[x];ans+=1LL*ruier[x]*(ruier[x]-1)>>1;
    for(vector<int>::iterator i=a[x].begin();i!=a[x].end();i++)ruir[*i]--;
    for(vector<pair<int,int> >::iterator i=b[x].begin();i!=b[x].end();i++)ruir[i->first]--,ruir[i->second]--;
    for(vector<int>::iterator i=a[x].begin();i!=a[x].end();i++)ans+=(ruir[x]-cuts-ruir[*i]);
    for(vector<pair<int,int> >::iterator i=b[x].begin();i!=b[x].end();i++)ans+=(ruir[x]-cuts-ruir[i->first]-ruir[i->second]);
    ans+=1LL*cuts*(cuts-1)>>1;
    sort(b[x].begin(),b[x].end());
    for(vector<int>::iterator j=a[x].begin();j!=a[x].end();j++)ans-=cutt[*j],cutt[*j]++;
    for(vector<pair<int,int> >::iterator j=b[x].begin(),k;j!=b[x].end();j=k)
    {
        int nows=1;
        for(k=j+1;k!=b[x].end()&&(*j)==(*k);k++)nows++;
        ans-=1LL*nows*(nows-1)>>1;
        ans-=1LL*(cutt[j->first]+cutt[j->second])*nows;
        cutt[j->first]+=nows;cutt[j->second]+=nows;
    }
    for(vector<int>::iterator j=a[x].begin();j!=a[x].end();j++)cutt[*j]--;
    for(vector<pair<int,int> >::iterator j=b[x].begin();j!=b[x].end();j++)cutt[j->first]--,cutt[j->second]--;
    ruir[x]-=les[x];
    return;
}
int main()
{
    rin>>n;for(int i=1;i<n;i++){int x,y;rin>>x>>y;nxt[x].push_back(y);nxt[y].push_back(x);}
    dfs(1,0);for(int i=1;(1<<i)<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)f[i][j]=f[i-1][f[i-1][j]];
    rin>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        rin>>x>>y;
        if(x==y){ruier[x]++;continue;}
        if(dep[x]<dep[y])jh(x,y);
        z=Lca(x,y);
        int x_=find(x,z),y_=find(y,z);
        if(y==z)a[z].push_back(x_);
        else b[z].push_back(make_pair(min(x_,y_),max(x_,y_)));
        ruir[x]++;ruir[y]++;ruir[z]--;les[z]++;
    }
    init_ans(1,0);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}