四边形不等式

简单例题入门

石子合并

在朴素的 DP 式子上考虑优化，实际上就是决策单调性的运用。

对于这道题，\(f_{i,j}\) 的决策点 \(k\) 的转移范围可以通过之前求出的某些东西来限制。假设我们之前求出了 \(f_{i,j-1}\) 和 \(f_{i+1,j}\) 的最优决策点，记它们为 \(x,y\)。

对于 \(x\)，我们考虑在右边新加了一个元素，而如果此时决策点左移，会显然不优。因为原本，将决策点 \(k\) 那个位置加入右边的代价就相对劣，而右边新增元素后会使得 \(k\) 加入右边的代价变得更劣，便不可能加入右边。

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四边形不等式

定义

对于某种类型的 DP 转移式：\(f_{i,j}=f_{i,k}+f_{k+1,j}+w_{i,j}\)，如果满足 \(w\) 是符合四边形不等式性质且单调的，那么就有四边形不等式优化。

当求 \(f\) 的最小值时，需满足：

• \(\forall i< i'< j< j',w_{i,j}+w_{i',j'}\le w_{i,j'}+w_{i',j}\)

• \(\forall i< i'< j< j',w_{i,j'}\ge w_{i',j}\)

而对于求最大值则需要倒转一下，我试过，石子合并那道题如果是求最大值没有这个决策单调。

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结论

可以由前面状态的最优决策点，来决定当前状态的最优决策点的范围。

其实这也是一个很重要的思想。

我觉得：四边形不等式觉得难是因为它太抽象了，脱离了实际的题目背景。