TaRJaN

零、前言

WCR 刷到了 tarjan 裸题。
我：“这不是一遍dfs一遍最短路完事了？”
WCR：“……（调试中）”

然后就想起来我也不会写 tarjan。。。

然后这是一篇复习 blog 。。。

一、基础

先上某度某科定义：

若一个无向图中的去掉任意一个节点（一条边）都不会改变此图的连通性，即不存在割点（桥），则称作点（边）双连通图。一个无向图中的每一个极大点（边）双连通子图称作此无向图的点（边）双连通分量。

然后就是缩点，缩点之后有向图会成为一个 \(DAG\) ，可以进行 拓扑\(DP\)
无向图缩点后就是一棵树。

1、缩点（强连通）

比如洛谷模板。

竟然做了一个小时。。。

坑点：不保证单源，从每个点开始 tarjan 。

特点：遍历完所有儿子后再判断是否在强连通内。

2、割边

模板

交了2147483647次。。。

坑点：

• 如果非树边，要用dfn更新low。
• 判断是否割边，是low[v]>dfn[u]
• tot=1，因为要记录来边（不是来点）

3、割点

模板

无需进行栈操作。判断是否是割点：low[v]>=dfn[u]
特判每个连通块的根：如果根连着两个或以上个连通块，则根也是割点。

二、进阶&&应用

可能主要是 (全都是？) 园方树 罢。
而且可能全都是兔队的罢。

首先是写法。
1、因为要建两张图，尽量一个用邻接表一个用vector，可能看着方便一点。
2、与之前不同，弹栈时不能弹当前节点u，因为u可能还在另一个点双中。
3、方点标号从n+1开始，区分圆方点。

铁人两项
简单路径：同一个点双内，所有的点 \(c\) ，满足从 \(u\) 到 \(v\) 至少存在一条简单路径经过点 \(c\) 。
点权：方点赋值为点双大小，圆点赋值为 \(-1\) 。
转化：起点终点固定时，中间点方案数 \(->\) 树上两点之间点权和。
改变求和方式：对于每个点，权值乘以经过该点的路径条数。

战略游戏
建出圆方树，割点数即为树上联通子图中圆点数减去 \(|S|\) 。
关于联通子图：正规求法是虚树之类的东东。。。我有个线段树区间覆盖的求法，正确性与可行性均不明。。。留坑等我颓废而不想颓废的时候填。。。
upd on 10/19：将所有点按DFS序排序，然后答案为 \(\frac{1}{2}×（\sum dis_{i,i+1} +dis_{n,1}）\) 。

tourists
建出圆方树，问题变为求两点间点权最小值。（方点点权为周围圆点的最小值）
可是修改操作就很烦，一个圆点周围可能会有一堆方点。。。
于是修改定义：方点点权为儿子圆点的最小值，当路径LCA是方点时额外查询 fa[lca] 的值 。
然后方点可以开个multiset记录每个儿子的值。。。（逐渐离谱且毒瘤）

压力
两点之间的割点数，就是路径上圆点数。
可以很容易 树剖 树上差分 求出。
一眼树剖的绕着机房爬三圈！！！