《编程之美》2.14求子数组之和的最大值

解法三：

考虑数组的第一个元素A[0],以及最大的一段数组(A[i]...A[j])跟A[0]的关系，有一下三种情况：

1、0=i=j       元素A[0]本身构成和最大一段；

2、0=i<j　　 和最大一段从A[0]开始

3、0<i　　　 和最大一段和A[0]没有关系

 

所以假设：

已经知道 

(A[1]...An-1])的最大和段之和为all[1]; 

(A[1]...An-1])的包含A[1]的最大和段之和为start[1];

那么all[0]=max{A[0], A[0]+start[1], all[1]};

而start[0]=max{A[0], A[0]+start[1]};

所以all[0]=max{start[0],all[1]};

 

代码：

int max_sum(vector<int> arr)
{
    int n=arr.size();
    vector<int> all(n);
    vector<int> start(n);

    all[n-1]=arr[n-1];
    start[n-1]=arr[n-1];

    for(int i=n-2; i>=0; i--)
    {
        start[i]=max_num(arr[i],arr[i]+start[i+1]);
        all[i]=max_num(start[i],all[i+1]);
    }
    return all[0];
}

进一步分析可得到额外空间只需要O(1)就足够：

int max_sum(vector<int> arr)
{
    int n=arr.size();
    int nAll=arr[n-1];
    int nStart=arr[n-1];

    for(int i=n-2; i>=0; i--)
    {
        nStart=max_num(arr[i],arr[i]+nStart);
        nAll=max_num(start[i],nAll);
    }
    return nAll;
}