简单数论之整除&质因数分解&唯一分解定理

[整除]

若a被b整除，即a是b的倍数，那么记作b|a（"|"是整除符号），读作"b整除a"或"a能被b整除"。b叫做a的约数（或因数），a叫做b的倍数。

 

[质因数分解]

把一个正整数数分解成几个质数的幂相乘的形式叫做质因数分解。

e.g.

10=2*5

16=2⁴

18=2*3²

 

[唯一分解定理]

唯一分解定理（算术基本定理）可表述为：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积：

 

N=P₁^a₁*P₂^a₂*P₃^a₃......P_n^a_n

 

这里P₁<P₂<P₃......<P_n且均为连续质数（如2，3，5，7，11......）。

 

[再谈整除]

有了质因数分解，我们再看整除。

e.g.

36/6=2²*3²/2*3=2⁽¹⁾*3⁽¹⁾=2^2-1*3^2-1=2*3=6

 引用于洛谷2018 OI夏令营 - 普及组后期 PJ7-1 数学：简单数论与计数原理

如果m|n，那么n/m=2^a₁-b₁*3^a₂-b₂*5^a₃-b₃...

此时当且仅当a₁>=b₁,a₂>=b₂...。因为一旦a_x<b_x，m/n就会出现分数。

这样我们就多了一种判断整除的方法：

只需对两个数m，n进行质因数分解，然后比较他们每一项的指数。如果m每一项的指数都大于等于n每一项的指数，那么m一定是n的倍数咯！

 

2019-02-05 15:45:29