SGU106 - The equation
106. The equation
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There is an equation ax + by + c = 0. Given a,b,c,x1,x2,y1,y2 you must determine, how many integer roots of this equation are satisfy to the following conditions : x1<=x<=x2, y1<=y<=y2. Integer root of this equation is a pair of integer numbers (x,y).
Input
Input contains integer numbers a,b,c,x1,x2,y1,y2 delimited by spaces and line breaks. All numbers are not greater than 108 by absolute value.
Output
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1 1 -3
0 4
0 4
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4
题解：运用扩展欧几里得解二元一次方程。我们可以找出一对整数（x,y),使得方程ax+by=gcd(a,b)。因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以ax+by=bx'+(a%b)y',因为a%b=a-a/b*b;所以ax+by=ay'+b(x'-(a/b)*y').
即：
x=y';
y=x'-(a/b)*y';这样运用迭代法我们就可以求出（x,y)。
扩展欧几里得算法代码：(摘自刘汝佳大神的《算法竞赛入门经典》（P179)
1 void gcd(int a,int b,int& d,int& x,int& y) 2 { 3 if(!b){d=a; x=1; y=0;} 4 else{gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);} 5 }
当我们运用上述方法求出ax+by=gcd(a,b)之后，假设解为（x1,y1)我们就可以用来求ax+by=c的一组解(x0,y0)，设k=c%gcd(a,b),如果k!=0，即c不是gcd(a,b)的倍数，那么此方程无整数解。
如果不等于0，那么a(x1*c/gcd(a,b))+b(y1*c/gcd(a,b))=c。所以x0=x1*c/gcd(a,b),y0=y1*c/gcd(a,b)。其余的整数解可以写成这样（x0+kb',y0-ka'),其中b'=b/gcd(a,b),a'=a/gcd(a,b)。具体推导过程请看《算法竞赛入门经典》179...记住即可。。。
对于此题我们只要枚举K，使得：
x1<=x0+kb'<=x2
y1<=y0-ka'<=y2
直接解出两个不等式的解，然后求交集即得到了K的范围，K的范围长度+1也即所有整数解的数量。
注意精度问题以及a,b,c的正负。
View Code
1 #include<stdio.h> 2 #include<math.h> 3 #include<stdlib.h> 4 typedef struct 5 { 6 long long d; 7 long long x; 8 long long y; 9 } NODE; 10 NODE gcd(long long a,long long b) 11 { 12 NODE s,p; 13 if(!b) 14 { 15 s.x=1; 16 s.y=0; 17 s.d=a; 18 return s; 19 } 20 s=gcd(b,a%b); 21 p.x=s.x; 22 s.x=s.y; 23 s.y=p.x-(a/b)*s.y; 24 return s; 25 26 } 27 long long max(long long a,long long b) 28 { 29 return a>b?a:b; 30 } 31 long long min(long long a,long long b) 32 { 33 return a<b?a:b; 34 } 35 36 int main(void) 37 { 38 long long a,b,c,x1,x2,y1,y2,ll,rr,tt; 39 scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c); 40 scanf("%lld%lld",&x1,&x2); 41 scanf("%lld%lld",&y1,&y2); 42 if(a==0&&b==0) 43 { 44 if(!c)printf("%lld\n",(x2-x1+1)*(y2-y1+1)); 45 else 46 printf("0\n"); 47 } 48 else if(a==0&&b!=0) 49 { 50 if(c%b==0&&(c/b)>=y1&&(c/b)<=y2) 51 printf("%lld\n",x2-x1+1); 52 else 53 printf("0\n"); 54 } 55 else if(a!=0&&b==0) 56 { 57 if(c%a==0&&(c/a)>=x1&&(c/a)<=x2) 58 printf("%lld\n",y2-y1+1); 59 else 60 printf("\n"); 61 } 62 else 63 { 64 c=-c; 65 if(c<0) 66 { 67 a=-a; 68 b=-b; 69 c=-c; 70 } 71 if(a<0) 72 { 73 a=-a; 74 tt=x1; 75 x1=-x2; 76 x2=-tt; 77 } 78 if(b<0) 79 { 80 b=-b; 81 tt=y1; 82 y1=-y2; 83 y2=-tt; 84 } 85 NODE s=gcd(a,b); 86 if(c%s.d) 87 printf("0\n"); 88 else 89 { 90 91 s.x*=(c/s.d); 92 s.y*=(c/s.d); 93 printf("%lld %lld\n",s.x,s.y); 94 ll=max(ceil((double)(x1-s.x)*s.d/b),ceil((double)(s.y-y2)*s.d/a)); 95 rr=min(floor((double)(x2-s.x)*s.d/b),floor((double)(s.y-y1)*s.d/a)); 96 if(ll>rr) 97 printf("0\n"); 98 else 99 printf("%lld\n",rr-ll+1); 100 } 101 } 102 return 0; 103 }
