插值法(内插法)

今天做题需要用到插值法, 就简单入门了一下, 同时记了一点浅显的东西于此。

定理

对于给定的 N+1 个点,存在唯一一个最高项次数不超过 N 的多项式 Y=P(X)其图像经过这N+1个点。

作用

求出的插值函数P(X)用于估计原函数F[X]。

(但如果原函数可以由多项式表示(既不是一个相关函数),且告诉了图像上其最高次项次数+1个点,就可以通过插值法得出该函数F[x],即求得的插值函数P[x]=F[x])

求法(对于给定的一组N+1个点(X0,y0),(X1,y1)......(XN,YN))

1.直接法

设出N次方程,得到N+1个线性方程,求解出多项式的系数即可。

(高斯消元哦,N3哦,很慢哦)

2.拉格朗日插值法(可以叫它构造法么?)

先构造出一组(N+1个)基函数 l0(X) , l1(X) , ...... , lN(X)

使得 li (X)只经过(Xi , 1),且在X=Xj ( j ≠ i )时,li (Xj)=0。

拉格朗日基函数

li(X)的构造如上。

显然,上式在 X=Xj ( j ≠ i )时,li ( Xj )=0

同时在 X=Xi 时,li(Xi)=1,即 yi li ( Xi )=yi

然后插值函数 P(X)即为 yi li ( X ) 的线性相加:

P(X)=y0 l0 ( X )+y1 l1 ( X )+y2 l2 ( X )+……+yN lN ( X )

以下四个点为例:

拉格朗日基函数

P(X)即为我们所求的函数。

复杂度O(N2)

想要了解更多的话就看看这里:

posted @ 2017-12-12 15:48  *ZJ  阅读(3508)  评论(0编辑  收藏  举报