算法基础之质数判定

质数：只能被 \(1\) 和自身整除的的自然数，\(1\) 既不是质数也不是合数。

质数定理：\(1\) 到 \(n\) 中最多有 \(n/log(n)\) 个质数。

质数判定通常有两类方法：试除法和筛质数。

试除法，顾名思义，对于 \(n\)，检查所有 \(2 ≤ m ＜ n\)，是否存在 \(m\) 是 \(n\) 的质数，若不存在则说明 \(n\) 是质数。试除法用于判断一个数是不是质数。

筛质数，筛选出小于等于 \(n\) 的质数/非质数。筛质数用于判断一批数是不是质数，常用的筛质数方法有埃氏筛法和线性筛法。

试除法

// 试除法
bool isPrime(int x) {
    if (x < 2)return false;
    for (int i = 2; i <= x / i; i++) {
        if(x%i==0)return false;
    }
    return true;
}
bool isPrime(int x) {
    if (x < 2)return false;
    for (int i = 2, k = sqrt(x); i <= k; i++) {
        if (x % i == 0)return false;
    }
    return true;
}

时间复杂度：\(O(√n)\)

空间复杂度：\(O(1)\)

埃氏筛法

基本思想：假设求范围小于等于 \(n\) 的质数，对于 \(2≤m≤n\) 的每个数 \(m\)，将其 \(k\) 倍数（\(k＞1\)）筛掉，剩下的就是质数。

// primes 记录已找到的每个质数
int primes[N], idx;
// notPrime[i]=true 表示 i 不是质数
bool notPrime[N];
void getPrimes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!notPrime[i]) {
            // 当轮到 i 时，如果 i 没有被筛掉，则 i 必为质数
            primes[idx++] = i;
            // 当i为质数时才需要筛掉它的倍数
            for (int j = i << 1; j <= n; j += i) {
                notPrime[j] = true;
            }
        }
    }
}

时间复杂度：\(O(nlog(log(log(n)))\)

空间复杂度：\(O(n)\)

线性筛法

基本思想：假设求范围小于等于 \(n\) 的质数，对于 \(2≤m≤k\) 的每个质数 \(m\)，将其 \(k\) 倍数筛掉，剩下的就是质数（\(k\) 由 \(2\) 到 \(n\)）。

// primes 记录已找到的每个质数
int primes[N], idx;
// notPrime[i]=true 表示 i 不是质数
bool notPrime[N];
void getPrimes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!notPrime[i]) primes[idx++] = i;
        // 筛掉目前所有质数的i倍
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; ++j) {
            notPrime[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0)break;
            // 当i%pj=0时，pj一定是i的最小质因子，所以，pj一定是pj*i的最小质因子
            // 当i%pj!=0时，pj一定小于i的最小质因子，所以，pj一定是pj*i的最小质因子
            // 于是每个数只会被其最小质因子筛掉，也即不会重复被筛
        }
    }
}

时间复杂度：\(O(n)\)

空间复杂度：\(O(n)\)

END

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